Unendlichkeit

Mathematische Unendlichkeiten

Die alten Griechen drückten die Unendlichkeit mit dem Wort apeiron aus, das die Bedeutungen von unbegrenzt, unbestimmt, undefiniert und formlos hatte. Eine der frühesten Erscheinungen der Unendlichkeit in der Mathematik betrifft das Verhältnis zwischen der Diagonale und der Seite eines Quadrats. Pythagoras (ca. 580-500 v. Chr.) und seine Anhänger glaubten zunächst, dass jeder Aspekt der Welt durch eine Anordnung ausgedrückt werden kann, die nur die ganzen Zahlen (0, 1, 2, 3,…) umfasst, aber sie waren überrascht, als sie entdeckten, dass die Diagonale und die Seite eines Quadrats inkommensurabel sind – d. h., ihre Längen können nicht beide als ganzzahlige Vielfache einer gemeinsamen Einheit (oder Messlatte) ausgedrückt werden. In der modernen Mathematik wird diese Entdeckung dadurch ausgedrückt, dass das Verhältnis irrational ist und den Grenzwert einer endlosen, sich nicht wiederholenden Dezimalreihe darstellt. Im Falle eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 ist die Diagonale die Quadratwurzel aus√2, geschrieben als 1,414213562…, wobei die Ellipse (…) eine endlose Folge von Ziffern ohne Muster anzeigt.

Bei Platon (428/427-348/347 v. Chr.) und Aristoteles (384-322 v. Chr.) war die allgemeine griechische Abneigung gegen den Begriff der Unendlichkeit gleich. Aristoteles beeinflusste das spätere Denken mehr als ein Jahrtausend lang mit seiner Ablehnung der „tatsächlichen“ Unendlichkeit (räumlich, zeitlich oder numerisch), die er von der „potenziellen“ Unendlichkeit des unendlichen Zählens unterschied. Um die Verwendung der tatsächlichen Unendlichkeit zu vermeiden, entwickelten Eudoxus von Cnidus (ca. 400-350 v. Chr.) und Archimedes (ca. 285-212/211 v. Chr.) eine Technik, die später als die Methode der Erschöpfung bekannt wurde, bei der eine Fläche berechnet wurde, indem die Messeinheit in aufeinanderfolgenden Schritten halbiert wurde, bis die verbleibende Fläche unter einem bestimmten Wert lag (die verbleibende Region wurde „erschöpft“).

Das Problem der unendlich kleinen Zahlen führte in den späten 1600er Jahren zur Entdeckung der Infinitesimalrechnung durch den englischen Mathematiker Isaac Newton und den deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton führte seine eigene Theorie der unendlich kleinen Zahlen, der Infinitesimale, ein, um die Berechnung von Ableitungen oder Steigungen zu rechtfertigen. Um die Steigung (d. h. die Änderung von y gegenüber der Änderung von x) für eine Linie zu finden, die eine Kurve an einem bestimmten Punkt (x, y) berührt, hielt er es für nützlich, das Verhältnis zwischen dy und dx zu betrachten, wobei dy eine infinitesimale Änderung von y ist, die durch die Verschiebung eines infinitesimalen Betrags dx von x erzeugt wird. Infinitesimale wurden stark kritisiert, und ein Großteil der frühen Geschichte der Analysis drehte sich um Bemühungen, eine alternative, strenge Grundlage für das Thema zu finden. Die Verwendung von Infinitesimalzahlen gewann schließlich mit der Entwicklung der Nicht-Standard-Analyse durch den in Deutschland geborenen Mathematiker Abraham Robinson in den 1960er Jahren eine feste Grundlage.

Eine direktere Verwendung der Unendlichkeit in der Mathematik ergibt sich bei Versuchen, die Größen unendlicher Mengen zu vergleichen, wie die Menge der Punkte auf einer Linie (reelle Zahlen) oder die Menge der Zählzahlen. Mathematikern fällt schnell auf, dass gewöhnliche Intuitionen über Zahlen irreführend sind, wenn es um unendliche Größen geht. Die Denker des Mittelalters waren sich der paradoxen Tatsache bewusst, dass Linienabschnitte unterschiedlicher Länge die gleiche Anzahl von Punkten zu haben schienen. Zeichnen Sie zum Beispiel zwei konzentrische Kreise, von denen der eine den doppelten Radius (und damit den doppelten Umfang) des anderen hat, wie in der Abbildung dargestellt. Überraschenderweise kann jeder Punkt P auf dem äußeren Kreis mit einem eindeutigen Punkt P′ auf dem inneren Kreis gepaart werden, indem man eine Linie von ihrem gemeinsamen Mittelpunkt O zu P zieht und ihren Schnittpunkt mit dem inneren Kreis als P′ bezeichnet. Die Intuition legt nahe, dass der äußere Kreis doppelt so viele Punkte haben sollte wie der innere Kreis, aber in diesem Fall scheint Unendlichkeit dasselbe zu sein wie doppelte Unendlichkeit. Anfang des 16. Jahrhunderts beschäftigte sich der italienische Wissenschaftler Galileo Galilei mit diesem und einem ähnlichen, nicht intuitiven Ergebnis, das heute als Galileis Paradoxon bekannt ist. Galilei wies nach, dass die Menge der Zählzahlen in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit der scheinbar viel kleineren Menge ihrer Quadrate gebracht werden kann. In ähnlicher Weise zeigte er, dass die Menge der Zählzahlen und ihre Verdoppelungen (d. h. die Menge der geraden Zahlen) miteinander verbunden werden können. Galilei kam zu dem Schluss, dass „wir nicht von unendlichen Mengen sprechen können, als wäre die eine größer oder kleiner oder gleich der anderen“. Solche Beispiele veranlassten den deutschen Mathematiker Richard Dedekind 1872 dazu, eine Definition einer unendlichen Menge als eine Menge vorzuschlagen, die in eine Eins-zu-Eins-Beziehung mit einer geeigneten Teilmenge gesetzt werden kann.

Die Verwirrung über unendliche Zahlen wurde von dem deutschen Mathematiker Georg Cantor ab 1873 aufgelöst. Zunächst bewies Cantor rigoros, dass die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) genauso groß ist wie die der abzählbaren Zahlen; daher nennt man sie abzählbar oder denumerabel. Dies war natürlich kein wirklicher Schock, aber später im selben Jahr bewies Cantor das überraschende Ergebnis, dass nicht alle Unendlichkeiten gleich sind. Mit Hilfe eines so genannten „Diagonalarguments“ zeigte Cantor, dass die Größe der abzählbaren Zahlen streng genommen kleiner ist als die Größe der reellen Zahlen. Dieses Ergebnis ist als Cantors Theorem bekannt.

Um Mengen zu vergleichen, unterschied Cantor zunächst zwischen einer bestimmten Menge und dem abstrakten Begriff ihrer Größe, der Kardinalität. Im Gegensatz zu einer endlichen Menge kann eine unendliche Menge die gleiche Kardinalität haben wie eine eigene Teilmenge von sich selbst. Cantor verwendete ein diagonales Argument, um zu zeigen, dass die Kardinalität einer beliebigen Menge kleiner sein muss als die Kardinalität ihrer Potenzmenge, d. h. der Menge, die alle möglichen Teilmengen der gegebenen Menge enthält. Im Allgemeinen hat eine Menge mit n Elementen eine Potenzmenge mit 2n Elementen, und diese beiden Kardinalitäten sind selbst dann unterschiedlich, wenn n unendlich ist. Cantor nannte die Größen seiner unendlichen Mengen „transfinite Kardinalzahlen“. Seine Argumente zeigten, dass es transfinite Kardinalzahlen von unendlich vielen verschiedenen Größen gibt (z.B. die Kardinalzahlen der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen).

Zu den transfiniten Kardinalzahlen gehören aleph-null (die Größe der Menge der ganzen Zahlen), aleph-one (die nächst größere Unendlichkeit) und das Kontinuum (die Größe der reellen Zahlen). Diese drei Zahlen werden auch als ℵ0, ℵ1 bzw. c geschrieben. Per Definition ist ℵ0 kleiner als ℵ1, und nach dem Cantor’schen Satz ist ℵ1 kleiner oder gleich c. Zusammen mit einem Prinzip, das als Axiom der Wahl bekannt ist, kann die Beweismethode des Cantor’schen Satzes verwendet werden, um eine unendliche Folge von transfiniten Kardinalzahlen zu gewährleisten, die über ℵ1 hinaus bis zu solchen Zahlen wie ℵ2 und ℵℵ0 weitergehen.

Das Kontinuumsproblem ist die Frage, welche der Alephen gleich der Kardinalität des Kontinuums ist. Cantor vermutete, dass c = ℵ1 ist; dies ist als Cantorsche Kontinuumshypothese (CH) bekannt. CH kann auch so verstanden werden, dass jede Menge von Punkten auf der Linie entweder abzählbar sein muss (mit einer Größe kleiner oder gleich ℵ0) oder eine Größe haben muss, die so groß ist wie der gesamte Raum (mit der Größe c).

In den frühen 1900er Jahren wurde eine umfassende Theorie der unendlichen Mengen entwickelt. Diese Theorie ist als ZFC bekannt, was für Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit dem Auswahlaxiom steht. Es ist bekannt, dass CH auf der Grundlage der Axiome der ZFC unentscheidbar ist. Im Jahr 1940 konnte der in Österreich geborene Logiker Kurt Gödel zeigen, dass die ZFC die CH nicht widerlegen kann, und im Jahr 1963 zeigte der amerikanische Mathematiker Paul Cohen, dass die ZFC die CH nicht beweisen kann. Mengentheoretiker suchen weiterhin nach Möglichkeiten, die ZFC-Axiome auf vernünftige Weise zu erweitern, um die CH zu lösen. Neuere Arbeiten legen nahe, dass CH falsch sein könnte und dass die wahre Größe von c die größere Unendlichkeit ℵ2.

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