Als Teenager besuchte Glenn die Chaparral High School in Temecula, Kalifornien. Er ist ein ehemaliges Mitglied der Kirche Jesu Christi der Heiligen der Letzten Tage (LDS-Kirche). Nach der High School diente er den Heiligen der Letzten Tage als Missionar in Nebraska.
Neon Trees entstanden 2004 in Südkalifornien, nachdem Glenns Vater ihm vorgeschlagen hatte, mit dem Gitarristen Chris Allen, dem Sohn eines Freundes von Glenns Vater, Musik zu machen. Im Jahr 2005 zogen sie nach Provo, Utah, und gründeten offiziell die Neon Trees. 2007 kamen der Bassist Branden Campbell und die Schlagzeugerin/Backing-Sängerin Elaine Doty (heute Elaine Bradley) hinzu. Die Band wurde in der Musikszene um Provo und Salt Lake City bekannt.
Im Jahr 2007 wurde Ronnie Vannucci Jr. (Schlagzeuger von The Killers), der Campbell aus einer früheren Band kannte, sah Neon Trees bei einem Auftritt in einem kleinen Lokal in Las Vegas und war beeindruckt. Daher luden The Killers die Band 2008 ein, als Vorgruppe auf ihrer Nordamerika-Tournee aufzutreten.
Neon Trees veröffentlichten 2010 ihr erstes komplettes Album „Habits“. Ein Song aus diesem Album, „Animal“, den Glenn mitgeschrieben hat, erreichte Platz eins der Billboard Alternative Songs Charts. Ein zweiter von Glenn mitgeschriebener Song, „Everybody Talks“ von ihrem 2011er Album Picture Show, war 2012 ebenfalls ein Top-10-Hit.
Im Jahr 2014 war Glenn als Leadsänger auf „Born to Run“ zu hören, einem Song auf Afrojacks Debüt-Studioalbum „Forget the World“.
Im Jahr 2015 trat Glenn der Weihnachtsmusik-Supergruppe Band of Merrymakers für deren Album Welcome to Our Christmas Party bei.
Am 28. April 2016 veröffentlichte Glenn seine erste Single als Solokünstler, die Elektro-Pop-Single „Trash“. Das Video zum Song wurde am nächsten Tag im Rolling Stone uraufgeführt. In dem Video ist Glenn zu sehen, wie er aus einer Alkoholflasche trinkt, auf ein verfremdetes Bild von Joseph Smith spuckt, mit seinen Händen die Tempelmarken der LDS-Kirche anfertigt und sich ein rotes „X“ ins Gesicht malt. Das Video löste sofort eine Kontroverse unter Mormonen aus, von denen viele es als beleidigend empfanden.
Glenn veröffentlichte am 21. Oktober 2016 ein Soloalbum mit dem Titel „Excommunication“. Glenn sagte im LGBTQ&A-Podcast, dass der Text „I tried to kill myself and I’m not the only one“ im Song „G.D.M.M.L. GRLS“ davon handelt, wie die von der LDS-Kirche im Jahr 2015 erlassene Anti-Homosexuellen-Politik ihn und andere queere Menschen betroffen hat.
Am 11. April 2018 gab Glenn auf Twitter bekannt, dass er am 6. Mai 2018 sein Broadway-Debüt in der Rolle des Charlie Price in „Kinky Boots“ geben wird und eine begrenzte Laufzeit bis zum 15. Juli 2018 haben wird.