Symbolische Logik
Michael Genesereth
Computer Science Department
Stanford University
Obwohl es möglich ist, Logik nur in englischer Sprache zu unterrichten, ist dies problematisch. Sätze in natürlicher Sprache können komplex sein; sie können mehrdeutig sein; und wenn man die Bedeutung eines Satzes nicht versteht, kann das zu Fehlern in der Argumentation führen.
Selbst sehr einfache Sätze können problematisch sein. Hier sehen wir zwei grammatikalisch legale Sätze. Sie sind bis auf das letzte Wort identisch, aber ihre Struktur ist völlig unterschiedlich. Im ersten ist das Hauptverb blüht, während im zweiten blüht ein Substantiv ist und das Hauptverb sank.
Die Kirschblüte blüht im Frühling.
Die Kirschblüte im Frühling sank.
Als weiteres Beispiel für grammatikalische Komplexität betrachten wir den folgenden Auszug aus dem Mietvertrag der Universität von Michigan. Der Satz ist in diesem Fall so lang und die grammatikalische Struktur so komplex, dass man ihn oft mehrmals lesen muss, um genau zu verstehen, was er aussagt.
Die Universität kann diesen Mietvertrag kündigen, wenn der Mieter, der sich vor der Immatrikulation beworben und diesen Mietvertrag unterschrieben hat, nicht zur Immatrikulation berechtigt ist oder sich nicht an der Universität einschreibt oder die Universität zu irgendeinem Zeitpunkt vor Ablauf dieses Mietvertrages verlässt, oder wegen Verstoßes gegen die Bestimmungen dieses Mietvertrages oder wegen Verstoßes gegen die Vorschriften der Universität in Bezug auf Studentenwohnheime oder aus gesundheitlichen Gründen, indem sie den Studenten 30 Tage vor dem Datum des Inkrafttretens der Kündigung schriftlich davon in Kenntnis setzt, es sei denn, Leib, Leben oder Eigentum wären gefährdet, der Mieter verkauft oder erwirbt kontrollierte Substanzen, die gegen Bundes-, Landes- oder Kommunalrecht verstoßen, oder der Mieter ist nicht mehr als Student eingeschrieben, oder der Mieter benutzt oder besitzt Feuerwaffen, Sprengstoffe, brennbare Flüssigkeiten, Feuerwerkskörper oder andere gefährliche Waffen innerhalb des Gebäudes oder löst einen Fehlalarm aus; in diesen Fällen ist eine Kündigungsfrist von höchstens 24 Stunden ausreichend.
Ein Beispiel für Mehrdeutigkeit: Nehmen wir an, ich schreibe den Satz Da ist ein Mädchen im Zimmer mit einem Teleskop. Siehe Abbildung 6 für zwei mögliche Bedeutungen dieses Satzes. Sage ich, dass sich ein Mädchen in einem Raum mit einem Teleskop befindet? Oder sage ich, dass ein Mädchen im Zimmer ist und ein Teleskop in der Hand hält?
Abbildung 6 – Es ist ein Mädchen im Zimmer mit einem Teleskop.
Solche Komplexitäten und Zweideutigkeiten können manchmal humorvoll sein, wenn sie zu Interpretationen führen, die der Autor nicht beabsichtigt hat. In den folgenden Beispielen finden Sie einige berüchtigte Zeitungsschlagzeilen mit mehreren Interpretationen. Durch die Verwendung einer formalen Sprache werden solche unbeabsichtigten Zweideutigkeiten vermieden (und damit wohl oder übel auch jeder unbeabsichtigte Humor).
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Massen eilen zum Papst und trampeln 6 zu Tode Journal Star, Peoria, 1980
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Gebackenes Hähnchen aus der Mikrowelle gewinnt Reise The Oregonian, Portland, 1981
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Zur Veranschaulichung von Fehlern, die beim Schlussfolgern mit Sätzen in natürlicher Sprache auftreten, betrachten wir die folgenden Beispiele. Im ersten verwenden wir die Transitivität der besseren Relation, um aus der relativen Qualität von Champagner und Bier und der relativen Qualität von Bier und Limonade eine Schlussfolgerung über die relative Qualität von Champagner und Limonade abzuleiten. So weit, so gut.
Champagner ist besser als Bier.
Bier ist besser als Limonade.
Daher ist Champagner besser als Limonade.
Betrachten wir nun, was passiert, wenn wir die gleiche Transitivitätsregel in dem unten dargestellten Fall anwenden. Die Form des Arguments ist dieselbe wie zuvor, aber die Schlussfolgerung ist etwas weniger glaubwürdig. Das Problem in diesem Fall ist, dass die Verwendung von nichts hier syntaktisch ähnlich ist wie die Verwendung von Bier im vorangegangenen Beispiel, aber im Englischen bedeutet es etwas völlig anderes.
Schlechter Sex ist besser als nichts.
Nichts ist besser als guter Sex.
Daher ist schlechter Sex besser als guter Sex.
Symbolische Logik beseitigt diese Schwierigkeiten durch die Verwendung einer formalen Sprache zur Codierung von Informationen. Mit der Syntax und Semantik dieser formalen Sprache können wir den Begriff der logischen Schlussfolgerung genau definieren. Außerdem können wir präzise Argumentationsregeln aufstellen, die alle und nur logische Schlussfolgerungen hervorbringen.
In dieser Hinsicht gibt es eine starke Analogie zwischen den Methoden der Formalen Logik und denen der Schulalgebra. Um diese Analogie zu veranschaulichen, betrachten Sie die folgende Algebra-Aufgabe.
Xavier ist dreimal so alt wie Yolanda. Xaviers Alter und Yolandas Alter addieren sich zu zwölf. Wie alt sind Xavier und Yolanda?
Typischerweise besteht der erste Schritt zur Lösung einer solchen Aufgabe darin, die Informationen in Form von Gleichungen auszudrücken. Wenn wir x für das Alter von Xavier und y für das Alter von Yolanda stehen lassen, können wir die wesentlichen Informationen des Problems wie unten gezeigt erfassen.
x – 3y = 0
x + y = 12
Mit den Methoden der Algebra können wir diese Ausdrücke dann manipulieren, um das Problem zu lösen. Zuerst subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
Nächstens teilen wir jede Seite der resultierenden Gleichung durch -4, um einen Wert für y zu erhalten. Dann setzen wir sie wieder in eine der vorhergehenden Gleichungen ein und erhalten einen Wert für x.
x = 9
y = 3
Betrachten wir nun das folgende logische Problem.
Wenn Mary Pat liebt, dann liebt Mary Quincy. Wenn es Montag ist und regnet, dann liebt Mary Pat oder Quincy. Wenn es Montag ist und regnet, liebt Mary Quincy?
Wie beim Algebra-Problem ist der erste Schritt die Formalisierung. Lassen Sie p die Möglichkeit darstellen, dass Mary Pat liebt; lassen Sie q die Möglichkeit darstellen, dass Mary Quincy liebt; lassen Sie m die Möglichkeit darstellen, dass es Montag ist; und lassen Sie r die Möglichkeit darstellen, dass es regnet.
Mit diesen Abkürzungen können wir die wesentlichen Informationen dieses Problems mit den folgenden logischen Sätzen darstellen. Der erste besagt, dass p q impliziert, d.h. wenn Mary Pat liebt, dann liebt Mary Quincy. Der zweite besagt, dass m und r p oder q impliziert, d. h. wenn es Montag ist und regnet, dann liebt Mary Pat oder Mary liebt Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Wie bei der Algebra, definiert die formale Logik bestimmte Operationen, die wir zur Manipulation von Ausdrücken verwenden können. Die unten gezeigte Operation ist eine Variante der so genannten propositionalen Auflösung. Die Ausdrücke oberhalb der Linie sind die Prämissen der Regel, und der Ausdruck darunter ist die Schlussfolgerung.
| p1 ∧ … ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ … ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Es gibt zwei Ausarbeitungen dieser Operation. (1) Wenn ein Satz auf der linken Seite des einen Satzes mit einem Satz auf der rechten Seite des anderen Satzes übereinstimmt, können die beiden Symbole gestrichen werden, wobei jedoch nur ein solches Paar gestrichen werden darf. (2) Wenn eine Konstante auf derselben Seite eines einzigen Satzes wiederholt wird, können alle Vorkommen bis auf eines gestrichen werden.
Wir können diese Operation anwenden, um das Problem von Marys Liebesleben zu lösen. Betrachtet man die beiden Prämissen oben, so stellt man fest, dass p auf der linken Seite des einen Satzes und auf der rechten Seite des anderen Satzes vorkommt. Folglich können wir das p streichen und so die Schlussfolgerung ableiten, dass, wenn es Montag ist und regnet, dann liebt Mary Quincy oder Mary liebt Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Das wiederholte Symbol auf der rechten Seite weglassen, kommen wir zu dem Schluss, dass, wenn es Montag ist und regnet, Mary Quincy liebt.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Dieses Beispiel ist insofern interessant, als es unsere formale Sprache zur Kodierung logischer Informationen zeigt. Wie in der Algebra verwenden wir Symbole, um relevante Aspekte der fraglichen Welt darzustellen, und wir verwenden Operatoren, um diese Symbole zu verbinden, um Informationen über die Dinge auszudrücken, die diese Symbole darstellen.
Das Beispiel führt auch eine der wichtigsten Operationen in der formalen Logik ein, nämlich die Auflösung (in diesem Fall eine eingeschränkte Form der Auflösung). Die Auflösung hat die Eigenschaft, für eine wichtige Klasse von logischen Problemen vollständig zu sein, d.h. sie ist die einzige Operation, die notwendig ist, um jedes Problem dieser Klasse zu lösen.