Elektronen sind ein Beispiel für einen Teilchentyp, der Fermion genannt wird. Andere Fermionen sind Protonen und Neutronen. Zusätzlich zu ihrer Ladung und Masse haben Elektronen eine weitere fundamentale Eigenschaft, den Spin. Ein Teilchen mit Spin verhält sich so, als hätte es einen Eigendrehimpuls. Dies führt dazu, dass jedes Elektron einen kleinen magnetischen Dipol besitzt. Die Spin-Quantenzahl ist die Projektion des Spins eines Teilchens entlang einer beliebigen Achse (in Lehrbüchern gewöhnlich als z-Achse bezeichnet), ausgedrückt in Einheiten von h. Elektronen haben einen Spin ½, der auf zwei mögliche Arten ausgerichtet sein kann, die gewöhnlich als „spin up“ oder „spin down“ bezeichnet werden.
Alle Fermionen haben einen halb-ganzzahligen Spin. Ein Teilchen, das einen ganzzahligen Spin hat, nennt man ein Boson. Photonen, die den Spin 1 haben, sind Beispiele für Bosonen. Eine Folge des halbzahligen Spins von Fermionen ist, dass dies eine Beschränkung für das Verhalten eines Systems darstellt, das mehr als ein Fermion enthält.
Dieser Zwang ist das Pauli-Ausschlussprinzip, das besagt, dass keine zwei Fermionen den exakt gleichen Satz von Quantenzahlen haben können. Aus diesem Grund können nur zwei Elektronen ein Elektronen-Energieniveau besetzen – ein Elektron kann den Spin nach oben und das andere den Spin nach unten haben, so dass sie unterschiedliche Spin-Quantenzahlen haben, obwohl die Elektronen die gleiche Energie haben.
Diese Beschränkungen für das Verhalten eines Systems mit vielen Fermionen können statistisch behandelt werden. Das Ergebnis ist, dass die Elektronen gemäß der Fermi-Dirac-Verteilung auf die verfügbaren Energieniveaus verteilt werden:
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wobei f(ε) die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustands der Energie ε, kB die Boltzmann-Konstante, μ (der griechische Buchstabe mu) das chemische Potential und T die Temperatur in Kelvin ist.
Die Verteilung beschreibt die Besetzungswahrscheinlichkeit für einen Quantenzustand der Energie E bei einer Temperatur T. Sind die Energien der verfügbaren Elektronenzustände und die Entartung der Zustände (die Anzahl der Elektronenenergiezustände, die die gleiche Energie haben) bekannt, kann diese Verteilung zur Berechnung thermodynamischer Eigenschaften von Elektronensystemen verwendet werden.
Am absoluten Nullpunkt ist der Wert des chemischen Potenzials, μ, als Fermi-Energie definiert. Bei Raumtemperatur ist das chemische Potenzial für Metalle praktisch identisch mit der Fermi-Energie – typischerweise liegt der Unterschied nur in der Größenordnung von 0,01 %. Es überrascht daher nicht, dass das chemische Potenzial für Metalle bei Raumtemperatur oft als Fermi-Energie angesehen wird. Für einen reinen undotierten Halbleiter bei endlicher Temperatur liegt das chemische Potenzial immer auf halbem Weg zwischen dem Valenzband und dem Leitungsband. Wie wir jedoch in einem späteren Abschnitt dieses TLP sehen werden, hat das chemische Potenzial in extrinsischen (dotierten) Halbleitern eine signifikante Temperaturabhängigkeit.
Um das Verhalten von Elektronen bei endlicher Temperatur in Metallen und reinen undotierten Halbleitern qualitativ zu verstehen, reicht es offensichtlich aus, μ in einer ersten Näherung als Konstante zu behandeln. Mit dieser Näherung kann die Fermi-Dirac-Verteilung bei verschiedenen Temperaturen aufgezeichnet werden. In der folgenden Abbildung wurde μ auf 5 eV gesetzt.
Aus dieser Abbildung ist ersichtlich, dass die Verteilung am absoluten Nullpunkt eine Stufenfunktion ist. Sie hat den Wert 1 für Energien unterhalb der Fermi-Energie und den Wert 0 für Energien darüber. Bei endlichen Temperaturen wird die Verteilung verschmiert, da einige Elektronen thermisch auf Energieniveaus oberhalb des chemischen Potenzials μ angeregt werden. Die Abbildung zeigt, dass die Verteilungsfunktion bei Raumtemperatur immer noch nicht sehr weit davon entfernt ist, eine Stufenfunktion zu sein.
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