Symbolická logika
Michael Genesereth
Katedra výpočetní techniky
Stanfordská univerzita
Ačkoli je možné vyučovat logiku pouze pomocí anglického jazyka, je to problematické. Věty v přirozeném jazyce mohou být složité, mohou být nejednoznačné a nepochopení významu věty může vést k chybám v uvažování.
Problematické mohou být i velmi jednoduché věty. Zde vidíme dvě gramaticky zákonité věty. Jsou stejné ve všem kromě posledního slova, ale jejich struktura je zcela odlišná. V první je hlavní sloveso blossoms, zatímco ve druhé je blossoms podstatné jméno a hlavní sloveso je sunk.
The cherry blossoms in the Spring.
The cherry blossoms in the Spring sunk.
Jako další příklad gramatické složitosti uveďme následující úryvek převzatý z nájemní smlouvy Michiganské univerzity. Věta je v tomto případě dostatečně dlouhá a gramatická struktura dostatečně složitá, takže si ji lidé musí často přečíst několikrát, aby přesně pochopili, co se v ní píše.
Univerzita může tuto nájemní smlouvu vypovědět, pokud nájemce, který podal přihlášku a uzavřel tuto nájemní smlouvu před zápisem, není způsobilý se zapsat nebo se nezapíše na univerzitu nebo opustí univerzitu kdykoli před uplynutím platnosti této nájemní smlouvy, nebo z důvodu porušení jakéhokoli ustanovení této nájemní smlouvy, nebo z důvodu porušení jakéhokoli předpisu univerzity týkajícího se kolejí nebo ze zdravotních důvodů, a to písemným oznámením této výpovědi studentovi 30 dní před datem účinnosti výpovědi, s výjimkou případů, kdy by byl ohrožen život, zdraví nebo majetek, kdy se nájemce podílí na prodeji nebo nákupu kontrolovaných látek v rozporu s federálními, státními nebo místními zákony, kdy nájemce již není zapsán jako student nebo kdy se nájemce podílí na používání nebo držení střelných zbraní, výbušnin, hořlavých kapalin, zábavní pyrotechniky nebo jiných nebezpečných zbraní v budově, nebo kdy dojde k falešnému poplachu, přičemž v těchto případech postačí výpovědní lhůta maximálně 24 hodin.
Jako příklad nejednoznačnosti uveďme, že bych napsal větu V místnosti je dívka s dalekohledem. Na obrázku 6 jsou uvedeny dva možné významy této věty. Říkám, že v místnosti s dalekohledem je dívka? Nebo říkám, že v místnosti je dívka a drží dalekohled?“
Obrázek 6 – V místnosti je dívka s dalekohledem.
Takové složitosti a nejasnosti mohou být někdy humorné, pokud vedou k interpretacím, které autor nezamýšlel. Viz níže uvedené příklady některých nechvalně známých novinových titulků s více výklady. Používání formálního jazyka takové neúmyslné dvojsmysly eliminuje (a v dobrém i zlém se vyhne i případnému neúmyslnému humoru).
|
Davy spěchající za papežem ušlapaly 6 lidí k smrti Journal Star, Peoria, 1980
|
||||
|
||||
|
||||
|
Smažené kuře připravené v mikrovlnné troubě vyhrává výlet The Oregonian, Portland, 1981
|
Pro ilustraci chyb, které vznikají při uvažování s větami v přirozeném jazyce, uveďme následující příklady. V prvním z nich využíváme tranzitivitu vztahu lepší k odvození závěru o relativní kvalitě šampaňského a limonády z relativní kvality šampaňského a piva a relativní kvality nebo piva a limonády. Zatím je to tak.
Šampaňské je lepší než pivo.
Pivo je lepší než soda.
Takže šampaňské je lepší než soda.
Nyní se zamysleme nad tím, co se stane, když použijeme stejné pravidlo tranzitivity v případě znázorněném níže. Forma argumentu je stejná jako předtím, ale závěr je poněkud méně věrohodný. Problém v tomto případě spočívá v tom, že použití nic je zde syntakticky podobné použití pivo v předchozím příkladu, ale v angličtině znamená něco úplně jiného.
Špatný sex je lepší než nic.
Nic je lepší než dobrý sex.
Takže špatný sex je lepší než dobrý sex.
Symbolická logika tyto potíže odstraňuje díky použití formálního jazyka pro kódování informací. Vzhledem k syntaxi a sémantice tohoto formálního jazyka můžeme podat přesnou definici pojmu logického závěru. Navíc můžeme stanovit přesná pravidla uvažování, která vytvářejí všechny a pouze logické závěry.
V tomto ohledu existuje silná analogie mezi metodami formální logiky a metodami středoškolské algebry. Pro ilustraci této analogie uvažujme následující algebraickou úlohu:
Xavier je třikrát starší než Yolanda. Xavierův věk a Yolandin věk dávají dohromady dvanáct. Kolik je Xavierovi a Yolandě let?“
Typicky je prvním krokem při řešení takové úlohy vyjádření informace ve formě rovnic. Pokud necháme x představovat věk Xaviera a y věk Yolandy, můžeme zachytit základní informace problému, jak je uvedeno níže.
x – 3y = 0
x + y = 12
Pomocí metod algebry pak můžeme s těmito výrazy manipulovat a problém vyřešit. Nejprve odečteme druhou rovnici od první.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
Následně vydělíme každou stranu výsledné rovnice číslem -4, abychom získali hodnotu y. Pak se pokusíme získat hodnotu y. Poté dosadíme zpět do jedné z předchozích rovnic a získáme hodnotu pro x.
x = 9
y = 3
Nyní uvažujme následující logickou úlohu.
Pokud Mary miluje Pata, pak Mary miluje Quincyho. Jestliže je pondělí a prší, pak Mary miluje Pata nebo Quincyho. Je-li pondělí a prší, miluje Mary Quincyho?“
Stejně jako u algebraického problému je prvním krokem formalizace. Nechť p představuje možnost, že Mary miluje Pata; nechť q představuje možnost, že Mary miluje Quincyho; nechť m představuje možnost, že je pondělí; a nechť r představuje možnost, že prší.
Pomocí těchto zkratek můžeme podstatné informace tohoto problému reprezentovat následujícími logickými větami. První říká, že p implikuje q, tj. jestliže Mary miluje Pata, pak Mary miluje Quincyho. Druhá říká, že m a r implikuje p nebo q, tj. je-li pondělí a prší, pak Mary miluje Pata nebo Mary miluje Quincyho.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Jako u algebry, Formální logika definuje určité operace, které můžeme použít k manipulaci s výrazy. Níže uvedená operace je variantou toho, čemu se říká výroková rezoluce. Výrazy nad řádkem jsou premisy pravidla a výraz pod ním je závěr.
| p1 ∧ …. ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ …. ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ …. ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Existují dvě rozpracování této operace. (1) Je-li propozice na levé straně jedné věty stejná jako propozice na pravé straně druhé věty, je v pořádku tyto dva symboly vypustit s tím, že lze vypustit pouze jednu takovou dvojici. (2) Opakuje-li se konstanta na stejné straně jedné věty, lze vypustit všechny výskyty kromě jednoho.
Tuto operaci můžeme použít při řešení problému Mariina milostného života. Při pohledu na obě výše uvedené premisy si všimneme, že p se vyskytuje na levé straně jedné věty a na pravé straně druhé. V důsledku toho můžeme zrušit p, a tím odvodit závěr, že je-li pondělí a prší, pak Mary miluje Quincyho nebo Mary miluje Quincyho.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Vynechání opakovaného symbolu na pravé straně, dojdeme k závěru, že pokud je pondělí a prší, pak Mary miluje Quincyho.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Tento příklad je zajímavý tím, že ukazuje náš formální jazyk pro kódování logických informací. Stejně jako v algebře používáme symboly, které reprezentují příslušné aspekty daného světa, a operátory, kterými tyto symboly spojujeme, abychom vyjádřili informace o věcech, které tyto symboly reprezentují.
Příklad také představuje jednu z nejdůležitějších operací ve formální logice, a to rozlišení (v tomto případě omezenou formu rozlišení). Resolution má tu vlastnost, že je úplná pro důležitou třídu logických problémů, tj. je to jediná operace nutná k vyřešení jakéhokoli problému v této třídě.