Konečno

Matematické nekonečno

Staří Řekové vyjadřovali nekonečno slovem apeiron, které mělo konotaci neohraničeného, neurčitého, neurčitého a beztvarého. Jeden z prvních výskytů nekonečna v matematice se týká poměru mezi úhlopříčkou a stranou čtverce. Pythagoras (asi 580-500 př. n. l.) a jeho následovníci se původně domnívali, že jakýkoli aspekt světa lze vyjádřit uspořádáním zahrnujícím pouze celá čísla (0, 1, 2, 3,…), ale s překvapením zjistili, že úhlopříčka a strana čtverce jsou nesouměřitelné – to znamená, že jejich délky nelze vyjádřit jako celočíselné násobky nějaké společné jednotky (nebo měřítka). V moderní matematice se tento objev vyjadřuje tvrzením, že poměr je iracionální a že je limitou nekonečné, neopakující se desetinné řady. V případě čtverce o délce strany 1 je úhlopříčka odmocninou z√2, zapsanou jako 1,414213562…, kde elipsa (…) označuje nekonečnou posloupnost číslic bez vzoru.

Platón (428/427-348/347 př. n. l.) i Aristoteles (384-322 př. n. l.) sdíleli obecný řecký odpor k pojmu nekonečna. Aristoteles ovlivnil pozdější myšlení na více než tisíciletí svým odmítnutím „skutečného“ nekonečna (prostorového, časového nebo číselného), které odlišoval od „potenciálního“ nekonečna spočívajícího v možnosti počítat bez konce. Aby se vyhnuli používání skutečného nekonečna, vyvinuli Eudoxos z Knidu (asi 400-350 př. n. l.) a Archimédes (asi 285-212/211 př. n. l.) techniku, později známou jako metoda vyčerpání, podle níž se plocha počítá tak, že se měrná jednotka v postupných krocích snižuje na polovinu, dokud zbývající plocha není nižší než nějaká pevně stanovená hodnota (zbývající oblast byla „vyčerpána“).

Problém nekonečně malých čísel vedl na konci 16. století k objevu kalkulu anglickým matematikem Isaacem Newtonem a německým matematikem Gottfriedem Wilhelmem Leibnizem. Newton zavedl vlastní teorii nekonečně malých čísel neboli infinitesimálů, aby zdůvodnil výpočet derivací neboli sklonů. Aby zjistil sklon (tj. změnu y oproti změně x) pro přímku dotýkající se křivky v daném bodě (x, y), považoval za užitečné podívat se na poměr mezi dy a dx, kde dy je nekonečně malá změna y způsobená posunutím nekonečně malého množství dx od x. Nekonečně malá čísla byla silně kritizována a velká část rané historie analýzy se točila kolem snahy najít alternativní, rigorózní základ pro tento předmět. Používání infinitezimálních čísel nakonec získalo pevnou půdu pod nohama s rozvojem nestandardní analýzy matematika německého původu Abrahama Robinsona v 60. letech 20. století.

Přímější využití nekonečna v matematice vzniká při snaze porovnat velikosti nekonečných množin, jako je množina bodů na přímce (reálná čísla) nebo množina počítaných čísel. Matematiky rychle zarazí skutečnost, že běžné intuice o číslech jsou zavádějící, když se mluví o nekonečných velikostech. Středověcí myslitelé si byli vědomi paradoxní skutečnosti, že úsečky různě dlouhé se zdají mít stejný počet bodů. Nakreslete například dvě soustředné kružnice, z nichž jedna má dvakrát větší poloměr (a tedy dvakrát větší obvod) než druhá, jak je znázorněno na obrázku. Překvapivě lze každý bod P na vnější kružnici spárovat s jedinečným bodem P′ na vnitřní kružnici tak, že z jejich společného středu O nakreslíme přímku do P a označíme její průsečík s vnitřní kružnicí P′. Intuice napovídá, že vnější kružnice by měla mít dvakrát více bodů než vnitřní kružnice, ale v tomto případě se zdá, že nekonečno je totéž co dvojnásobek nekonečna. Na počátku 16. století se tímto a podobným neintuitivním výsledkem, dnes známým jako Galileův paradox, zabýval italský vědec Galileo Galilei. Galileo prokázal, že množinu počítaných čísel lze dát do vztahu jedna ku jedné se zdánlivě mnohem menší množinou jejich čtverců. Podobně ukázal, že množinu počítaných čísel a jejich dvojčat (tj. množinu sudých čísel) lze spárovat. Galileo dospěl k závěru, že „o nekonečných veličinách nemůžeme mluvit tak, že jedna je větší nebo menší než druhá nebo se jí rovná“. Takové příklady vedly německého matematika Richarda Dedekinda v roce 1872 k návrhu definice nekonečné množiny jako množiny, kterou lze uvést do vztahu jedna ku jedné s nějakou vlastní podmnožinou.

Zmatek ohledně nekonečných čísel vyřešil od roku 1873 německý matematik Georg Cantor. Cantor nejprve důsledně prokázal, že množina racionálních čísel (zlomků) má stejnou velikost jako čísla počitatelná; proto se nazývají počitatelná neboli denumerabilní. To samozřejmě nebyl žádný skutečný šok, ale ještě téhož roku Cantor dokázal překvapivý výsledek, že ne všechna nekonečna jsou si rovna. Pomocí takzvaného „diagonálního argumentu“ Cantor ukázal, že velikost počitatelných čísel je striktně menší než velikost reálných čísel. Tento výsledek je znám jako Cantorova věta.

Pro porovnání množin Cantor nejprve rozlišoval mezi konkrétní množinou a abstraktním pojmem její velikosti neboli kardinality. Na rozdíl od konečné množiny může mít nekonečná množina stejnou kardinalitu jako její vlastní podmnožina. Cantor použil diagonální argument, aby ukázal, že kardinalita jakékoli množiny musí být menší než kardinalita její mocninné množiny – tj. množiny, která obsahuje všechny možné podmnožiny dané množiny. Obecně platí, že množina s n prvky má mocninnou množinu s 2n prvky a tyto dvě kardinality se liší i tehdy, když je n nekonečné. Cantor nazval velikosti svých nekonečných množin „transfinitními kardinály“. Jeho argumenty ukázaly, že existují transfinitní kardinály nekonečně mnoha různých velikostí (např. kardinály množiny počítaných čísel a množiny reálných čísel).

Transfinitní kardinály zahrnují alef-nulu (velikost množiny celých čísel), alef-jedničku (další větší nekonečno) a kontinuum (velikost reálných čísel). Tato tři čísla se také zapisují jako ℵ0, ℵ1 a c. Podle definice je ℵ0 menší než ℵ1 a podle Cantorovy věty je ℵ1 menší nebo rovno c. Spolu s principem známým jako axiom volby lze metodou důkazu Cantorovy věty zajistit nekonečnou posloupnost transfinitních kardinálů pokračujících za ℵ1 k číslům jako ℵ2 a ℵℵ0.

Problém kontinua je otázka, který z alefů je roven kardinalitě kontinua. Cantor vyslovil domněnku, že c = ℵ1; to je známé jako Cantorova hypotéza kontinua (CH). CH si lze také představit jako tvrzení, že každá množina bodů na přímce musí být buď spočetná (o velikosti menší nebo rovné ℵ0), nebo musí mít velikost jako celý prostor (musí mít velikost c).

Na počátku 20. století byla vypracována důkladná teorie nekonečných množin. Tato teorie je známá jako ZFC, což je zkratka pro Zermelo-Fraenkelovu teorii množin s axiomem výběru. Je známo, že CH je na základě axiomů v ZFC nerozhodnutelná. V roce 1940 dokázal logik rakouského původu Kurt Gödel ukázat, že ZFC nemůže vyvrátit CH, a v roce 1963 americký matematik Paul Cohen ukázal, že ZFC nemůže dokázat CH. Teoretici množin nadále zkoumají způsoby, jak rozumným způsobem rozšířit axiomy ZFC tak, aby bylo možné vyřešit CH. Nejnovější práce naznačují, že CH může být nepravdivý a že skutečná velikost c může být větší nekonečno ℵ2.

.