Logaritmy záporných čísel nejsou v reálných číslech definovány, stejně jako v reálných číslech nejsou definovány odmocniny záporných čísel. Pokud se od vás očekává, že najdete logaritmus záporného čísla, ve většině případů postačí odpověď „nedefinováno“.
Je možné jej vyhodnotit, odpovědí však bude komplexní číslo. (číslo ve tvaru #a + bi#, kde #i = sqrt(-1)#)
Pokud znáte komplexní čísla a cítíte se s nimi dobře, pak čtěte dál.
Nejprve začneme obecným případem:
#log_b (-x) = ?#
Použijeme pravidlo změny základu a převedeme na přirozené logaritmy, abychom si to později usnadnili:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Všimněte si, že #ln(-x)# je totéž co #ln(-1 * x)#. Můžeme využít sčítací vlastnosti logaritmů a rozdělit tuto část na dva samostatné logaritmy:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Teď už je jen problém zjistit, co je #ln(-1)#. Na první pohled to může vypadat jako nemožná věc k vyhodnocení, ale existuje docela známá rovnice známá jako Eulerova identita, která nám může pomoci.
Eulerova identita říká:
#e^(ipi) = -1#
Tento výsledek vychází z rozkladu mocninných řad sinus a kosinus. (Nebudu to vysvětlovat příliš do hloubky, ale pokud vás to zajímá, je zde pěkná stránka, která vysvětluje trochu více)
Prozatím jednoduše vezměme přirozený logaritmus obou stran Eulerovy identity:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Zjednodušeně:
#ipi = ln(-1)#
Takže nyní, když víme, co je #ln(-1)#, můžeme dosadit zpět do naší rovnice:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Teď máte vzorec pro hledání logaritmů záporných čísel. Pokud tedy chceme vyhodnotit něco jako #log_2 10#, můžeme jednoduše dosadit několik hodnot:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#přibližně 3,3219 + 4,5324i#
.