Jaké je největší číslo na světě?

Pokud jste se někdy během hodiny matematiky zeptali, jaké je největší číslo, je dost pravděpodobné, že nějaká bystrá jiskra odpověděla asi takto: „To je snadné! Je to samozřejmě nekonečno!“

Jediný problém s nekonečnem je, že to není číslo jako takové, jak ukazuje následující rozhovor mezi dvěma bystrými jiskrami.

Bystrá jiskra jedna:

Jasná jiskra dvě: „Nekonečno je největší číslo na světě, to je jednoduché!“

Jasná jiskra dvě: „No, já mám pro tebe větší číslo – nekonečno plus jedna!“

Znovu jasná jiskra jedna: „Nekonečno je největší číslo na světě, to je jednoduché! „

Konverzace takto pokračuje zdánlivě nekonečně dlouho, dokud ani jedna z jisker nedojde k největšímu číslu na světě.

Dlouho si obě jiskry uvědomují, že nekonečno vlastně vůbec není číslo, ale spíše pojem. Co však oběma jasným jiskrám ještě nikdo neřekl, je šokující myšlenka, že existují různé velikosti nekonečna! Jak tedy spočítáme největší číslo?“

Konečnost počítaných čísel

Nejjednodušší způsob, jak vytvořit množinu čísel, která je nekonečně velká, je počítat v celých číslech. Tato množina čísel se nazývá přirozená čísla a je zřejmě nekonečně velká, protože v počítání můžeme pokračovat donekonečna. K označení této množiny se používá symbol , který znamená „přirozená čísla“.

Podívejme se nyní na jiný seznam čísel a nazvěme tuto množinu (naše vlastní označení):

Množina je také nekonečně velká, ale zřejmě obsahuje o jedno číslo méně než . Jsou stejně velké?

Můžeme ukázat, že a jsou skutečně stejně velké, když ukážeme, že mezi prvky a prvky existuje shoda jedna ku jedné.

…

Dosud bychom řekli, že velikost je prostě nekonečno, které se píše jako číslo osm na své straně:.

Nyní však zjistíme, že existují různé velikosti nekonečna, a proto nyní označíme velikost jako , což se vyslovuje jako „alef nula“. je nejmenší velikost nekonečna a naše množina má také velikost .

Jiné množiny, které mají velikost

Existuje mnoho dalších množin čísel, které mají nekonečnou velikost . Patří mezi ně množina kladných sudých celých čísel a také tzv. množina racionálních čísel. Racionální čísla jsou všechna čísla, která lze zapsat jako zlomky. Pokud má množina čísel velikost , říkáme, že je spočetná.

Každý možný zlomek můžeme zapsat do tabulky, jako je ta níže. Ekvivalentní zlomky se mohou vyskytovat vícekrát, například , nicméně všechna opakování můžeme z tabulky snadno odstranit. Poté můžeme zakreslit diagonální obrazec, který nám umožní zapsat naše zlomky do seznamu. Nyní nám zůstane přehledný seznam zlomků …

Máme-li seznam zlomků, lze je spočítat, a proto se říká, že racionální čísla jsou spočitatelná.

Jak najdeme velikost nekonečna, která je větší než?

Ne každé číslo lze zapsat jako zlomek. Čísla, která nelze zapsat jako zlomek, se nazývají iracionální čísla. Mezi známé příklady patří a surdy jako a .

Desetinné rozklady iracionálních čísel jako (3,1415926535…) trvají donekonečna a tato čísla nelze nikdy zapsat jako zlomky, i když lidé rádi používají jako přibližnou hodnotu pro .

Podívejme se nyní na množinu všech čísel, která jsou v intervalu 0 až 1. Tato množina bude obsahovat racionální čísla, jako je , i iracionální čísla, jako je Tato množina čísel je zjevně nekonečně velká, protože vždy můžeme vymýšlet další a další čísla, která jsou obsažena v intervalu (0,1).

V roce 1873 vymyslel německý matematik Georg Cantor velmi chytrý důkaz, že množina všech reálných čísel v intervalu (0,1) má velikost, která je větší nekonečno než velikost množiny přirozených čísel .

Shrnutí slavného Cantorova diagonálního argumentu.

Předpokládejme, že velikost množiny všech reálných čísel v intervalu (0,1) je stejná jako velikost . Mohli bychom tedy vytvořit seznam, který by se pokoušel počítat nahoru přes reálná čísla mezi 0 a 1. Mohl by vypadat nějak takto, kdybychom nebyli příliš logičtí:

Cantorův opravdu chytrý další krok spočíval v konstrukci nového čísla, které v seznamu není. Cantorův argument bude fungovat buď v případě, že použijeme seznam, jako je ten výše uvedený, nebo i v případě, že bychom se usilovně snažili vytvořit logický seznam, který by se snažil zachytit každé číslo mezi 0 a 1:

Cantorův chytrý způsob výběru čísla, které není na seznamu.

Toto nové číslo zjevně není v seznamu a Cantor zjistil rozpor – Cantor ukázal, že mezi přirozenými čísly a reálnými čísly v intervalu (0,1) nelze nikdy vytvořit korespondenci jedna ku jedné. Cantor dokázal, že velikost reálných čísel je větší než velikost přirozených čísel! Reálná čísla jsou nepočitatelná! Existují různé velikosti nekonečna!“

Závěrem lze říci, že odpověď na otázku, jaké je největší číslo na světě, není jednoznačná. Stručně řečeno, žádné největší číslo neexistuje, počítat můžete donekonečna. Můžete ale také najít dvě skupiny čísel – obě jsou nekonečně velká, ale zároveň se navzájem liší velikostí. Je to opravdu neuvěřitelné!!!

Největší číslo: Další čtení

Tímto článkem jsme pouze poškrábali povrch tohoto fascinujícího a mysl ohromujícího tématu. Pokud chcete číst dál, zkuste „Hypotézu kontinua“ v časopise Plus. Pokud se rozhodnete studovat matematiku na vyšším stupni, budete mít možnost studovat tzv. teorii množin, která se podrobněji zabývá tématy probíranými v tomto článku.

Článek Hazel Lewisové

.