Elektrony jsou příkladem typu částic zvaných fermiony. Mezi další fermiony patří protony a neutrony. Kromě náboje a hmotnosti mají elektrony ještě jednu základní vlastnost, která se nazývá spin. Částice se spinem se chová, jako by měla nějaký vlastní úhlový moment hybnosti. To způsobuje, že každý elektron má malý magnetický dipól. Kvantové číslo spinu je průmět spinu částice podél libovolné osy (v učebnicích obvykle označované jako osa z) vyjádřený v jednotkách h. Elektrony mají spin ½, který může být uspořádán dvěma možnými způsoby, obvykle označovanými jako „spin nahoru“ nebo „spin dolů“.
Všechny fermiony mají poloviční spin. Částice, která má celočíselný spin, se nazývá boson. Příkladem bosonu jsou fotony, které mají spin 1. Důsledkem polovičního celočíselného spinu fermionů je to, že ukládá omezení na chování systému obsahujícího více než jeden fermion.
Tímto omezením je Pauliho vylučovací princip, který říká, že žádné dva fermiony nemohou mít přesně stejný soubor kvantových čísel. Právě z tohoto důvodu mohou každou elektronovou energetickou hladinu obsadit pouze dva elektrony – jeden elektron může mít spin nahoru a druhý spin dolů, takže mají různá spinová kvantová čísla, přestože elektrony mají stejnou energii.
Tato omezení chování soustavy mnoha fermionů lze ošetřit statisticky. Výsledkem je, že elektrony budou rozděleny do dostupných energetických hladin podle Fermiho Diracova rozdělení:
\
kde f(ε) je pravděpodobnost obsazení stavu o energii ε, kB je Boltzmannova konstanta, μ (řecké písmeno mu) je chemický potenciál a T je teplota v Kelvinech.
Rozdělení popisuje pravděpodobnost obsazení kvantového stavu o energii E při teplotě T. Pokud jsou známy energie dostupných stavů elektronů a degenerace stavů (počet energetických stavů elektronů, které mají stejnou energii), lze toto rozdělení použít k výpočtu termodynamických vlastností systémů elektronů.
V absolutní nule je hodnota chemického potenciálu μ definována jako Fermiho energie. Při pokojové teplotě je chemický potenciál pro kovy prakticky stejný jako Fermiho energie – obvykle je rozdíl pouze v řádu 0,01 %. Není divu, že se chemický potenciál kovů při pokojové teplotě často považuje za Fermiho energii. Pro čistý nedopovaný polovodič při konečné teplotě leží chemický potenciál vždy v polovině vzdálenosti mezi valenčním a vodivostním pásem. Jak však uvidíme v následující části tohoto TLP, chemický potenciál ve vnějších (dopovaných) polovodičích má významnou teplotní závislost.
Abychom kvalitativně pochopili chování elektronů při konečné teplotě v kovech a čistých nedopovaných polovodičích, zjevně postačí v prvním přiblížení považovat μ za konstantu. S tímto přiblížením lze vykreslit Fermiho-Diracovo rozdělení při několika různých teplotách. Na obrázku níže bylo μ nastaveno na 5 eV.
Z tohoto obrázku je zřejmé, že při absolutní nule je rozdělení skokovou funkcí. Má hodnotu 1 pro energie pod Fermiho energií a hodnotu 0 pro energie nad ní. Pro konečné teploty se rozdělení rozmazává, protože některé elektrony začínají být tepelně excitovány na energetické hladiny nad chemickým potenciálem μ. Z obrázku je patrné, že při pokojové teplotě nemá distribuční funkce ještě daleko k tomu, aby byla funkcí skokovou.
předchozí | další