Bílý šum | Li Linguas

Vektor bílého šumuEdit

Říká se, že náhodný vektor (tj. částečně neurčitý proces, který vytváří vektory reálných čísel) je vektor bílého šumu nebo bílý náhodný vektor, jestliže každá z jeho složek má rozdělení pravděpodobnosti s nulovou střední hodnotou a konečným rozptylem a jsou statisticky nezávislé: to znamená, že jejich společné rozdělení pravděpodobnosti musí být součinem rozdělení jednotlivých složek.

Nutnou (ale obecně ne postačující) podmínkou statistické nezávislosti dvou proměnných je, aby byly statisticky nekorelované, to znamená, že jejich kovariance je nulová. Proto musí být kovarianční matice R složek vektoru bílého šumu w s n prvky diagonální maticí n krát n, kde každý diagonální prvek Rii je rozptyl složky wi; a korelační matice musí být maticí identity n krát n.

Jestliže kromě toho, že je každá proměnná ve w nezávislá, má také normální rozdělení s nulovou střední hodnotou a stejným rozptylem σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}.

, říká se, že w je Gaussův vektor bílého šumu. V takovém případě je společné rozdělení w vícerozměrné normální rozdělení; z nezávislosti mezi proměnnými pak vyplývá, že rozdělení má sférickou symetrii v n-rozměrném prostoru. Výsledkem jakékoli ortogonální transformace vektoru bude tedy Gaussův bílý náhodný vektor. Zejména při většině typů diskrétní Fourierovy transformace, jako je FFT a Hartleyho transformace, bude transformace W vektoru w také Gaussovým bílým šumovým vektorem; to znamená, že n Fourierových koeficientů w budou nezávislé Gaussovy proměnné s nulovou střední hodnotou a stejným rozptylem σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}.

Mocninové spektrum P náhodného vektoru w lze definovat jako očekávanou hodnotu čtvercového modulu každého koeficientu jeho Fourierovy transformace W, tedy Pi = E(|Wi|2). Podle této definice bude mít Gaussův vektor bílého šumu dokonale ploché výkonové spektrum, přičemž Pi = σ2 pro všechna i.

Je-li w bílý náhodný vektor, ale ne Gaussův, jeho Fourierovy koeficienty Wi nebudou na sobě zcela nezávislé; i když pro velké n a běžná rozdělení pravděpodobnosti jsou závislosti velmi jemné a jejich párové korelace lze považovat za nulové.

Často se v definici bílého šumu používá slabší podmínka „statisticky nekorelovaný“ místo „statisticky nezávislý“. Pro tuto slabší verzi však nemusí platit některé běžně očekávané vlastnosti bílého šumu (např. ploché výkonové spektrum). Za tohoto předpokladu lze přísnější verzi explicitně označit jako nezávislý vektor bílého šumu:str.60 Jiní autoři místo toho používají silně bílý a slabě bílý.

Příkladem náhodného vektoru, který je „Gaussovým bílým šumem“ ve slabém, ale ne v silném smyslu, je x=, kde x1 je normální náhodná veličina s nulovou střední hodnotou a x2 je rovno +x1 nebo -x1 se stejnou pravděpodobností. Tyto dvě proměnné jsou nekorelované a jednotlivě normálně rozdělené, ale nejsou společně normálně rozdělené a nejsou nezávislé. Pokud x otočíme o 45 stupňů, jeho dvě složky budou stále nekorelované, ale jejich rozdělení už nebude normální.

V některých situacích můžeme definici zmírnit tím, že připustíme, aby každá složka bílého náhodného vektoru w měla nenulovou očekávanou hodnotu μ {\displaystyle \mu }.

. Zejména při zpracování obrazu, kde jsou vzorky obvykle omezeny na kladné hodnoty, se často bere μ {\displaystyle \mu }

za polovinu maximální hodnoty vzorku. V takovém případě bude mít Fourierův koeficient W0 odpovídající složce s nulovou frekvencí (v podstatě průměr wi) také nenulovou očekávanou hodnotu μ n {\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}.

; a výkonové spektrum P bude ploché pouze na nenulových frekvencích.

Diskrétní časový bílý šumEdit

Diskrétní časový stochastický proces W {\displaystyle W}

je zobecněním náhodných vektorů s konečným počtem složek na nekonečně mnoho složek. Stochastický proces s diskrétním časem W {\displaystyle W}

se nazývá bílý šum, jestliže jeho střední hodnota nezávisí na čase n {\displaystyle n}

a je roven nule, tj. E ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} ]=0}

a jestliže autokorelační funkce R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=\operatorname {E} W]}

závisí pouze na n {\displaystyle n}

ale ne na k {\displaystyle k}

a má nenulovou hodnotu pouze pro n = 0 {\displaystyle n=0}.

, tj. R W = σ 2 δ {\displaystyle R_{W}=\sigma ^{2}\delta }

Spojitý časový bílý šumEdit

Chceme-li definovat pojem „bílý šum“ v teorii spojitých časových signálů, musíme nahradit pojem „náhodný vektor“ spojitým časovým náhodným signálem; tj. náhodným procesem, který generuje funkci w {\displaystyle w}.

reálného parametru t {\displaystyle t}

O takovém procesu se říká, že je bílým šumem v nejsilnějším smyslu, jestliže hodnota w ( t ) {\displaystyle w(t)}

pro libovolný čas t {\displaystyle t}

je náhodná veličina, která je statisticky nezávislá na celé své historii před t {\displaystyle t}

. Slabší definice vyžaduje nezávislost pouze mezi hodnotami w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

a w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

v každé dvojici různých časů t 1 {\displaystyle t_{1}}

a t 2 {\displaystyle t_{2}}

. Ještě slabší definice vyžaduje pouze to, aby takové dvojice w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

a w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

jsou nekorelované. Stejně jako v diskrétním případě někteří autoři přijímají slabší definici pro „bílý šum“ a používají kvalifikátor nezávislý pro odkaz na některou ze silnějších definic. Jiní používají slabě bílý a silně bílý, aby mezi nimi rozlišili.

Přesná definice těchto pojmů však není triviální, protože některé veličiny, které jsou v konečném diskrétním případě konečnými součty, musí být nahrazeny integrály, které nemusí konvergovat. Ve skutečnosti množina všech možných případů signálu w {\displeje w}

již není konečný prostor R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

, ale nekonečně rozměrný prostor funkcí. Navíc podle jakékoli definice je signál bílého šumu w {\displaystyle w}

by musel být v každém bodě v podstatě nespojitý; proto i ty nejjednodušší operace s w {\displaystyle w} musí být v podstatě nespojité.

, jako je integrace na konečném intervalu, vyžadují pokročilou matematickou techniku.

Někteří autoři vyžadují, aby každá hodnota w ( t ) {\displaystyle w(t)}

aby byla reálnou náhodnou veličinou s očekáváním μ {\displaystyle \mu }.

a nějakým konečným rozptylem σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}.

. Pak kovariance E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

mezi hodnotami ve dvou časech t 1 {\displaystyle t_{1}}

a t 2 {\displaystyle t_{2}}

je dobře definovaná: je nulová, pokud jsou časy různé, a σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

pokud jsou stejné. Podle této definice však integrál W = ∫ a a + r w ( t ) d t {\displaystyle W_{}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}

na libovolném intervalu s kladnou šířkou r {\displaystyle r}

by byla jednoduše šířka krát očekávání: r μ {\displaystyle r\mu }

. Tato vlastnost by způsobila, že by tento koncept nebyl vhodný jako model fyzikálních signálů „bílého šumu“.

Většina autorů proto definuje signál w {\displaystyle w}

nepřímo určením nenulových hodnot pro integrály w ( t ) {\displaystyle w(t)}

a | w ( t ) | 2 {\displaystyle |w(t)|^{2}}.

na libovolném intervalu {\displaystyle }

, jako funkce jeho šířky r {\displaystyle r}

. V tomto přístupu však hodnota w ( t ) {\displaystyle w(t)}

v izolovaném čase nelze definovat jako náhodnou veličinu s reálnou hodnotou. Rovněž kovariance E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

se stává nekonečnou, když t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}}.