Qual é o maior número do mundo?

Se você já perguntou qual é o maior número durante uma aula de matemática, é bem provável que alguma faísca brilhante tenha sido transmitida com uma resposta em linha: “Isso é fácil! É o infinito, claro!”

O único problema com o infinito é que não é um número como tal, como demonstrado pela conversa abaixo entre duas centelhas brilhantes.

Centelha brilhante uma: “O infinito é o maior número do mundo, isso é fácil!”

Bright faísca dois: “Bem, eu tenho um número maior para você – infinito mais um!”

Bright faísca um novamente: “Eu tenho um número para bater o seu – infinito mais um, vezes um milhão!”

Conversação continua assim para o que parece ser uma quantidade infinita de tempo até que nenhuma faísca brilhante tenha chegado ao maior número do mundo.

Em pouco tempo as duas faíscas brilhantes perceberam que o infinito não é realmente um número, é mais um conceito. O que ninguém disse às duas faíscas brilhantes ainda é sobre a idéia chocante de que existem tamanhos diferentes de infinito! Então como calculamos o maior número?

O infinito dos números de contagem

A maneira mais simples de criar um conjunto de números que é infinito em tamanho é contando para cima em números inteiros. Este conjunto de números é chamado de números naturais e obviamente é infinito em tamanho, pois podemos continuar a contar para sempre. O símbolo é usado para rotular este conjunto e significa ‘números naturais’.

Deixe-nos agora olhar para uma lista diferente de números e chamar este conjunto (nossa própria etiqueta):

O conjunto também é infinito em tamanho, mas parece conter menos um número do que . São do mesmo tamanho?

Podemos mostrar que e são de facto do mesmo tamanho, mostrando que existe uma correspondência de um para um entre os elementos de e os elementos de .

…

Até agora teríamos dito que o tamanho de era simplesmente infinito, que está escrito como um número oito no seu lado:.

No entanto estamos prestes a descobrir que existem diferentes tamanhos de infinito, e por isso agora rotulamos o tamanho de como sendo que é pronunciado como ‘aleph zero’. é o menor tamanho do infinito, e o nosso conjunto também tem tamanho .

Outros conjuntos que têm o tamanho

Há muitos outros conjuntos de números que têm o tamanho infinito de . Estes incluem o conjunto de números positivos mesmo inteiros, e também o que é conhecido como o conjunto de números racionais. Números racionais são todos os números que podem ser escritos como frações. Se um conjunto de números tem o tamanho diz-se que são contabilizáveis.

Podemos escrever todas as fracções possíveis numa tabela como a que se segue. Frações equivalentes podem aparecer mais de uma vez, por exemplo mas podemos remover facilmente quaisquer repetições da tabela. Podemos então desenhar um padrão diagonal que nos permitirá colocar nossas frações em uma lista. Ficamos agora com uma lista limpa de frações …

Se tivermos uma lista de frações elas podem ser contadas e os números racionais são, portanto, ditos contabilizáveis.

Como encontramos um tamanho de infinito maior que?

Nem todos os números podem ser escritos como uma fracção. Números que não podem ser escritos como frações são chamados de números irracionais. Exemplos bem conhecidos incluem e surds como e .

As expansões decimais de números irracionais como (3.1415926535…) continuam para sempre, e esses números nunca podem ser escritos como frações, mesmo que as pessoas gostem de usar como uma aproximação para .

Vejamos agora o conjunto de todos os números que estão entre 0 e 1. Este conjunto incluirá números racionais como assim como números irracionais como Este conjunto de números é claramente infinito em tamanho, pois podemos sempre pensar em mais e mais números que estão contidos no intervalo (0,1).

Em 1873 um matemático alemão chamado Georg Cantor inventou uma prova muito inteligente de que o conjunto de todos os números reais no intervalo (0,1) tem um tamanho que é um infinito maior do que o tamanho do conjunto dos números naturais .

Sumário do famoso argumento diagonal de Cantor.

Vamos assumir que o tamanho do conjunto de todos os números reais no intervalo (0,1) é o mesmo tamanho que . Poderíamos então fazer uma lista tentando contar através dos números reais entre 0 e 1. Poderia parecer algo assim se não estivéssemos sendo muito lógicos:

O próximo passo realmente inteligente do cantor foi construir um novo número que não está na lista. O argumento de Cantor vai funcionar ou se usarmos uma lista como a acima, ou mesmo se tentarmos cuidadosamente fazer uma lista lógica que tente capturar cada número entre 0 e 1:

A forma inteligente de Cantor escolher um número que não esteja na lista.

Este novo número não está claramente na lista e Cantor encontrou uma contradição – Cantor mostrou que você nunca pode fazer uma correspondência de um para um entre os números naturais e os números reais no intervalo (0,1). Cantor tinha provado que o tamanho dos números reais é maior do que o tamanho dos números naturais! Os números reais são incontáveis! Existem diferentes tamanhos de infinito!

Em conclusão, a resposta à questão de qual é o maior número do mundo não é simples. Em poucas palavras, não existe um número maior, você pode continuar contando para sempre. Mas você também pode encontrar dois grupos de números – ambos infinitos em tamanho, mas também diferentes em tamanho um para o outro. É realmente incrível pensar em!

Largest Number: Leitura adicional

Este artigo só começou a arranhar a superfície deste fascinante e espantoso tema. Se você quiser ler mais, tente ‘The Continuum Hypothesis’ na revista Plus. Se você escolher estudar matemática a nível de graduação, você terá a chance de estudar o que é conhecido como teoria do conjunto, cobrindo com mais detalhes os tópicos discutidos neste artigo.

Artigo de Hazel Lewis