Logaritmos de números negativos não são definidos nos números reais, da mesma forma que raízes quadradas de números negativos não são definidas nos números reais. Se for esperado que você encontre o log de um número negativo, uma resposta de “indefinido” é suficiente na maioria dos casos.
É possível avaliar um, no entanto, a resposta será um número complexo. (um número do formulário #a + bi#, onde #i = sqrt(-1)#)
Se você está familiarizado com números complexos e se sente confortável trabalhando com eles, então leia em.
Primeiro, vamos começar com um caso geral:
#log_b (-x) = ?#
Usaremos a regra da mudança de base e converteremos para logaritmos naturais, para facilitar as coisas mais tarde:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Nota que #ln(-x)# é a mesma coisa que #ln(-1 * x)#. Podemos explorar a propriedade de adição de logaritmos, e separar esta parte em dois logs separados:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Agora o único problema é descobrir o que #ln(-1)# é. Pode parecer uma coisa impossível de avaliar no início, mas existe uma equação bastante famosa conhecida como Identidade de Euler que nos pode ajudar.
Euler’s Identity states:
#e^(ipi) = -1##
Este resultado vem de expansões de séries de energia seno e cosseno. (Eu não vou explicar isso muito profundamente, mas se você estiver interessado, há uma bela página aqui que explica um pouco mais)
Por enquanto, vamos simplesmente pegar o log natural de ambos os lados da Identidade de Euler:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Simplificado:
#ipi = ln(-1)#
Então, agora que sabemos o que #ln(-1)# é, podemos substituir de volta na nossa equação:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Agora você tem uma fórmula para encontrar logs de números negativos. Então, se quisermos avaliar algo como #log_2 10#, podemos simplesmente ligar alguns valores:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
>#approx 3.3219 + 4.5324i#