8.3 Modelos autoregressivos
Num modelo de regressão múltipla, prevemos a variável de interesse utilizando uma combinação linear de preditores. Em um modelo autoregressivo, nós prevemos a variável de interesse usando uma combinação linear de valores passados da variável. O termo autoregressão indica que ela é uma regressão da variável contra si mesma.
Assim, um modelo autoregressivo de ordem pode ser escrito como em qualquer lugar onde {varepsilon_t} é ruído branco. Isto é como uma regressão múltipla mas com valores desfasados de {\i1}(y_t} como preditores. Referimo-nos a isto como um modelo AR(p), um modelo autoregressivo de ordem. Os modelos autoregressivos são notavelmente flexíveis na manipulação de uma vasta gama de diferentes padrões de séries temporais. As duas séries da Figura 8.5 mostram séries de um modelo AR(1) e de um modelo AR(2). A alteração dos parâmetros \\phi_1,\phi_p) resulta em diferentes padrões de séries temporais. A variância do termo de erro \\(\varepsilon_t\) somente mudará a escala da série, não os padrões.
Figure 8.5: Dois exemplos de dados de modelos autoregressivos com parâmetros diferentes. esquerda: AR(1) com \(y_t = 18 -0.8y_{t-1} + \varepsilon_t\). Direita: AR(2) com {y_t = 8 + 1.3y_{t-1}-0.7y_{t-2}+{t-2}+\i1}varepsilon_t}). Em ambos os casos, {\i1}({\i1}varepsilon_t} é normalmente distribuído ruído branco com zero médio e variância um.
Para um modelo AR(1):
- quando {\phi_1=0\}, {\ y_t} é equivalente ao ruído branco;
- quando {\phi_1=1} e {\ c=0\), {\ y_t} é equivalente a uma caminhada aleatória;
- quando a(c=0), é equivalente a uma caminhada aleatória com deriva;
- quando a(c=0), é equivalente a uma caminhada aleatória com deriva;
- quando a(c=0), tende a oscilar em torno da média.
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Corrigimos normalmente modelos autoregressivos a dados estacionários, caso em que são necessárias algumas restrições sobre os valores dos parâmetros.
- Para um modelo AR(1): \(-1 < \phi_1 < 1\).
- Para um modelo AR(2): \(-1 < \phi_2 < 1\), \phi_1+\phi_2 < 1\), \phi_2-\phi_1 < 1\).
Quando as restrições são muito mais complicadas. R cuida dessas restrições ao estimar um modelo.