Primeiro, é um lixo de liceu que foi guardado apenas por falta de vontade de rever os cursos básicos.
Pode os metais ganharem electrões? Certamente, SIM. O sódio tem vários compostos com estado de oxidação negativa, muitos metais de transição têm extensa química onde o metal está em estado de oxidação negativa formal e assim por diante.
Pode o metal não-metal perder elétrons? Certamente, como nos compostos não-metal-não-metal é inevitável.
Então, do que se trata realmente? Qual é a diferença entre metais e não-metálicos?
Antes de continuarmos, temos que revisitar a definição do que é metal.
Sólido metálico (por vezes curto-circuitado como metal) é um sólido com condutividade metálica. Ele surge por ter orbitais contínuos meio cheios, permitindo que os elétrons se movimentem livremente. Sólido metálico perfeitamente pode ser um composto (digamos, $\ce{Ag2F}$). Além disso, muitos não metálicos sob forte pressão sofrem transição para a fase metálica.
No entanto, quando estamos falando de PoV químico, o metal é um elemento. Mas que tipo de elemento? O problema é que a definição de metal na química tem uma história, e o termo foi introduzido muito antes de muitos dos metais conhecidos hoje serem descobertos. Como tal, apenas metais comuns eram considerados e nenhum composto exótico era conhecido, e certamente antes de pressões extremamente elevadas se tornarem disponíveis.
Consequentemente, um metal era caracterizado pela sua capacidade de perder electrões (mas muitos elementos são capazes de o fazer) e por ter condutividade metálica quando em forma de simples composto. As caixas de fronteira eram descartadas ou contadas como ‘metalóides’ – um tipo especial de não metálico.
Por exemplo, o estanho tem aloides metálicos e não metálicos à pressão ambiente. Oups, é um tipo de metal ou não metálico? Bem, legalmente é considerado como um metal. No entanto, o antimónio, com praticamente o mesmo caso, é tipicamente considerado como metalóide.
Há no entanto uma diferença estrita entre estanho e antimónio em relação ao estanho ser capaz de formar sais normais e ter um óxido básico, enquanto o antimónio tem apenas óxidos ligeiramente ácidos. A razão para a discriminação existe. Por outro lado, alguns metais pesados de transição, como o rénio e o tungsténio não possuem óxidos verdadeiramente básicos.
Por isso, seria melhor definir os metais através da sua enumeração. É, porém, mais fácil enumerar os não metais: os não metais comumente reconhecidos são boro, silício, arsênico, telúrio, iodo, tudo à direita e acima desses elementos e hidrogênio. Opcionalmente, o germânio e o antimónio podem ser incluídos. (Polônio, astatina e alguns outros são casos questionáveis, pois sua química é praticamente inexplorada graças à sua alta radioatividade. Mas por essa razão podem ser ignorados com segurança)
Os elementos de auxílio têm algumas coisas em comum: têm uma eletronegatividade relativamente alta, formam sólidos covalentes ou moleculares, formam óxidos ácidos (se formarem) e não formam cátions simples estáveis na água. Tudo isso vem de eles terem um número relativamente alto de elétrons em concha de valência e uma ligação estreita desses elétrons.
Por nenhum meio você deve assumir que o sódio, por exemplo, está ansioso para perder um elétron. Não, este processo resulta em consumo de energia. Apenas a posterior estabilização por afinidade dos electrões dos seus parceiros e embalagem iónica resulta em ganho líquido de energia. Por outro lado, a adição de electrões a um átomo resulta muitas vezes numa ligeira libertação de energia.
TL; DR. Os não-metálicos têm tipicamente conchas de electrões compactas firmemente ligadas ao seu núcleo e, como tal, não têm vontade de as perder.