Existem dois artigos separados neste arquivo: “Como sabemos sobre matemática grega” e “Como sabemos sobre os matemáticos gregos”. Há uma crença comum de que a questão colocada neste artigo, sobre matemática grega e não sobre os matemáticos gregos, é fácil de responder. Talvez tudo que precisamos fazer para respondê-la seja ler os tratados matemáticos que os matemáticos gregos escreveram. Poderíamos pensar, muito ingenuamente, que embora alguns dos textos orientais tenham sido perdidos, deve haver muito para podermos obter uma excelente imagem da matemática grega.
A verdade, no entanto, não é tão simples e vamos ilustrar a forma como os textos matemáticos gregos chegaram até nós, olhando primeiro para o exemplo talvez mais famoso, nomeadamente os Elementos de Euclides. Quando lemos Heath’s The Thirteen Books of Euclid’s Elements (Os Treze Livros dos Elementos de Euclides) estamos a ler uma tradução inglesa das palavras que Euclides escreveu em 300 a.C.? Para responder a esta pergunta precisamos examinar a forma como os Elementos chegaram até nós e, mais geralmente, como os escritos dos antigos matemáticos gregos foram preservados.
Conteonte surpreendentemente, desde a era anterior da matemática babilônica os textos originais sobrevivem. Os babilônios escreveram em comprimidos de barro não cozido, usando escrita cuneiforme. Os símbolos eram comprimidos de argila macia com a borda inclinada de um estilete e assim tinham uma aparência em forma de cunha (e por isso o nome cuneiforme). Muitos comprimidos de cerca de 1700 a.C. sobrevivem e podemos ler os textos originais. Os gregos, entretanto, começaram a usar rolos de papiro para escrever seus trabalhos.
Papiro vem de uma planta parecida com a gramínea cultivada na região do delta do Nilo, no Egito, que tinha sido usada como material de escrita já em 3000 AC. No entanto, só foi utilizado pelos gregos por volta de 450 a.C., pois anteriormente tinham apenas uma tradição oral de transmitir conhecimentos através dos seus alunos. Conforme os registros escritos se desenvolveram, eles também usavam tábuas de madeira e pastilhas de cera para trabalhos que não eram destinados a ser permanentes. Por vezes, a escrita deste período sobreviveu em ostraca, que são fragmentos de cerâmica inscritos. Supõe-se que a primeira cópia dos Elementos teria sido escrita num rolo de papiro, que, se fosse típico de tais rolos, teria cerca de 10 metros de comprimento. Estes rolos eram bastante frágeis e facilmente rasgados, por isso tendiam a ficar danificados se muito usados. Mesmo que não fossem tocados, apodreciam muito rapidamente, excepto em condições climáticas particularmente secas, como as que existem no Egipto. A única forma de preservar estas obras era fazer novas cópias com bastante frequência e, uma vez que se tratava claramente de uma tarefa de grande envergadura, ela só seria feita para textos considerados de grande importância.
É fácil perceber, portanto, porque é que nenhum texto completo de matemática grega mais antigo que os Elementos de Euclides sobreviveu. Os Elementos foram considerados um trabalho tão belo que tornou os textos matemáticos mais antigos obsoletos, e ninguém ia continuar a copiar estes textos mais antigos para novos rolos de papiro apenas para os preservar para fins históricos. Os Elementos foram continuamente copiados, mas há dois problemas distintos que ocorrem quando trabalhos como este são copiados. Primeiro eles podem ter sido copiados por alguém que não tinha conhecimento técnico do material que estava sendo copiado. Neste caso, muitos erros seriam cometidos no processo de cópia (embora, como veremos abaixo, isso possa ser usado pelos historiadores em seu benefício). Por outro lado, a cópia poderia ter sido feita por alguém de considerável aprendizagem que soubesse de desenvolvimentos posteriores nos tópicos a serem descritos e assim poderia ter acrescentado material que não estava no texto original.
A partir de 300 a.C. até que o códice do livro fosse desenvolvido, os Elementos devem ter sido copiados muitas vezes. O códice consistia de folhas planas de material, dobradas e costuradas para produzir algo muito mais reconhecível como um livro. Os primeiros códices eram feitos de papiro, mas os desenvolvimentos posteriores substituíram-no por velino. Os códices começaram a aparecer por volta do século II d.C. mas não foram o principal veículo para obras até ao século IV.
Não houve apenas desenvolvimentos no material em que as obras foram escritas, mas também no guião que era usado na escrita. Nos rolos de papiro originais a escrita era toda em letras maiúsculas, sem espaços entre as palavras. Era necessário muito material para escrever relativamente pouco e também era difícil de ler. A escrita minúscula, que se desenvolveu por volta de 800 d.C., consistia em letras minúsculas e era muito mais compacta e fácil de ler. Um processo de transformar os antigos scripts maiúsculos não espaçados em minúsculos começou e grande parte da escrita matemática que sobreviveu o fez porque foram copiados para este novo formato.
Agora chegamos à mais antiga cópia completa sobrevivente dos Elementos escritos em minúsculo em 888 d.C. Arethas, bispo de Cesarea Cappadociae (agora no centro da Turquia), construiu uma biblioteca de obras religiosas e matemáticas e uma das oito obras desta biblioteca para sobreviver são os Elementos copiados pelo escriba Stephanus para Arethas. O custo para Arethas foi de 14 peças de ouro, cerca de um quinto do que um escriba esperaria receber em um ano. Chamemos este manuscrito dos Elementos de Euclides de E888 para fazer referência a ele mais facilmente. Há uma série de pontos que devemos fazer agora:
ii) Embora E888 seja o texto completo sobrevivente mais antigo dos Elementos existem fragmentos mais antigos (veja por exemplo e ). Seis fragmentos particularmente antigos (datados de cerca de 225 a.C.) do que podem ser partes do texto foram encontrados na Ilha do Elefantino em 1906. Especialistas argumentam se estes foram escritos por alguém que estudou os Elementos ou examinou um livro que Euclides incorporou nos Elementos.
iii) Alguns textos sobreviventes que foram escritos mais tarde do que E888, no entanto, são baseados numa versão anterior dos Elementos do que E888.
iv) O manuscrito E888, como é típico de tais manuscritos, contém anotações que foram feitas na cópia anterior que o escriba Stephanus usou e copiou para E888. Também contém anotações feitas por leitores posteriores.
v) A maioria dos manuscritos dos Elementos que sobreviveram são baseados numa versão com comentários e adições, produzida por Theon of Alexandria (com talvez a ajuda de sua filha Hypatia) no século IV dC. E888 é de facto baseado no trabalho de Theon.
vi) As primeiras versões dos Elementos que apareceram na Europa na Idade Média não foram traduções de nenhum destes textos gregos para o latim. Nessa época, nenhum texto grego dos Elementos era conhecido e as únicas versões dos Elementos eram aquelas que tinham sido traduzidas para o árabe.
vii) Vale a pena registrar que a razão muitas vezes dada que nenhum dos textos anteriores sobreviveu é porque os árabes queimaram a biblioteca em Alexandria em 642 d.C. Parece, porém, que não há verdade na história que os árabes queimaram esta biblioteca, veja por exemplo .
Na verdade, a primeira tradução árabe foi feita por al-Hajjaj no início do século IX. Outra tradução de Hunayn foi revisada por Thabit ibn Qurra também no século IX. Gherard de Cremona traduziu a versão de Thabit para o latim no século XII. Uma tradução anterior do árabe para o latim por Adelard de Bath por volta de 1120 sobrevive. Estas traduções do árabe são todas as versões que remontam à edição de Theon of Alexandria.
As relações entre as diferentes versões de um grande número de manuscritos matemáticos gregos foram brilhantemente trabalhadas pelo estudioso dinamarquês J L Heiberg no final do século XIX. Seria impossível fazer justiça ao trabalho académico que estava envolvido em tal tarefa, mas pelo menos indicamos a forma como ela é abordada. Se compararmos dois manuscritos que dizem AAA e BBB, e verificarmos que os erros presentes em AAA também estão presentes no BBB mas existem alguns erros no BBB que não aparecem em AAA, então é razoável deduzir que o BBB foi copiado de AAA ou que foi copiado de uma cópia de AAA. Se descobrirmos que AAA e BBB têm erros comuns mas também cada um tem erros próprios distintos, então é provável que tanto AAA como BBB tenham sido copiados de CCC. Se nenhum manuscrito sobreviveu que se encaixe no papel de CCC, então CCC pode ser reconstruído a partir de AAA e BBB com algum grau de certeza.
Os métodos deste tipo de Heiberg mostraram que todos, exceto um dos manuscritos sobreviventes dos Elementos derivados da edição de Theon of Alexandria. A única exceção foi baseada em uma versão anterior do texto do que a edição de Theon, mas esta versão anterior foi ela mesma posterior à versão na qual Theon deve ter baseado a sua edição. Entre 1883 e 1888, Heiberg publicou uma edição dos Elementos que foi tão próxima do original quanto ele foi capaz de produzir (ver ). A edição de Heath de 1908 ( é uma edição posterior deste trabalho) foi baseada na edição de Heiberg e contém uma descrição dos diferentes manuscritos que sobreviveram.
Demos apenas uma breve indicação da forma como os Elementos chegaram até nós. Nós nos referimos a e para uma descrição detalhada. Passemos agora às obras do talvez o maior dos matemáticos gregos, Archimedes.
William of Moerbeke (1215-1286) foi arcebispo de Corinto e estudioso clássico cujas traduções latinas de obras gregas tiveram um papel importante na transmissão do conhecimento grego para a Europa medieval. Ele teve dois manuscritos gregos das obras de Arquimedes e fez suas traduções latinas a partir desses manuscritos. O primeiro dos dois manuscritos gregos não é visto desde 1311, quando presumivelmente foi destruído. O segundo manuscrito sobreviveu mais tempo e certamente esteve por aí até o século 16, depois do qual desapareceu também. Nos anos entre a época em que Guilherme de Moerbeke fez sua tradução latina e seu desaparecimento, este segundo manuscrito foi copiado várias vezes e algumas dessas cópias sobreviveram. Até 1899 Heiberg não tinha encontrado fontes das obras de Arquimedes que não se baseassem nas traduções latinas de William de Moerbeke ou nas cópias do segundo manuscrito grego que ele usou na sua tradução.
Em 1899 um evento excepcionalmente importante ocorreu no nosso entendimento das obras de Arquimedes. Um palimpsesto de Arquimedes foi listado num catálogo de 890 obras na biblioteca do Metochion do Santo Sepulcro, em Istambul. Em 1906 Heiberg pôde começar a examinar o Palimpsesto de Arquimedes em Istambul. O que Heiberg estava examinando exatamente? Um palimpsesto é um texto que foi lavado para que outro texto pudesse ser escrito em cima. O texto subjacente, neste caso obras do Arquimedes, é dito ser “no palimpsesto”. As duas principais razões para fazer isso eram o custo, era mais barato reutilizar um pergaminho velho do que comprar um novo, ou muitas vezes os textos gregos eram deliberadamente destruídos, pois era considerado por alguns cristãos como um ato sagrado para destruir um texto pagão e substituí-lo por um cristão.
O palimpsesto Arquimedes tinha sido copiado no século 10 por um monge de um mosteiro ortodoxo grego Constantinopla. Depois no século XII o pergaminho tinha sido lavado e textos religiosos escritos em cima. Originalmente as páginas tinham cerca de 30 cm por 20 cm mas quando foram reutilizadas as páginas foram dobradas ao meio para fazer um livro de 20 cm por 15 cm com 174 páginas. Claro que isto implicava escrever os novos textos em ângulo recto com o texto de Arquimedes e, como era encadernado como um livro, parte do texto de Arquimedes estava na lombada do “novo” livro do século XII. Para tornar a tarefa de Heiberg ainda mais difícil, as páginas do texto de Arquimedes tinham sido usadas numa ordem arbitrária para fazer o novo livro. Entretanto, Heiberg tinha todas as habilidades necessárias para lidar com estes problemas.
O que Heiberg encontrou? O palimpsesto continha quatro obras do Arquimedes que já eram conhecidas, mas as versões no palimpsesto eram independentes dos dois manuscritos perdidos usados por William de Moerbeke em suas traduções em latim. Esta foi uma descoberta empolgante para os estudiosos que queriam obter mais informações sobre o conteúdo original da obra de Arquimedes. Melhor ainda, o palimpsesto também continha um texto de Sobre corpos flutuantes que até então só era conhecido através de traduções em latim. O melhor de tudo, porém, era o fato de que uma obra de Arquimedes foi encontrada no palimpsesto, pelo qual nenhuma cópia em nenhuma língua era conhecida antes de Heiberg estudar o palimpsesto. Foi o método extremamente importante dos teoremas mecânicos que descrevemos na biografia de Arquimedes.
Heiberg publicou sua reconstrução das obras de Arquimedes encontradas no palimpsesto enquanto o próprio palimpsesto permaneceu no mosteiro em Istambul. Contudo, antes da publicação da nova edição de Heiberg das obras de Arquimedes incorporando estas novas e notáveis descobertas, a região foi mergulhada na guerra juntamente com o resto da Europa. Durante a Primeira Guerra Mundial, os aliados planejavam dividir o império otomano, mas Mustafa Kemal, mais tarde conhecido como Atatürk, tinha idéias diferentes. Atatürk enfrentou revoltas locais, forças otomanas oficiais em oposição a ele, e forças armadas gregas. Entretanto, a Turquia foi declarada uma nação soberana em janeiro de 1921, mas, mais tarde naquele ano, os exércitos gregos fizeram grandes avanços quase alcançando Ankara. A sobrevivência da biblioteca do Metochion do Santo Sepulcro em Istambul não pôde ser garantida em meio aos combates, e o chefe da Igreja Ortodoxa Grega pediu que os livros da biblioteca fossem enviados à Biblioteca Nacional da Grécia para garantir a sua segurança. Das 890 obras da biblioteca, apenas 823 chegaram à Biblioteca Nacional da Grécia e o Palimpsesto Arquimedes não estava entre elas.
Exatamente o que aconteceu com o Palimpsesto Arquimedes não é claro. Aparentemente, estava nas mãos de um coleccionador francês desconhecido dos anos 20, embora o palimpsesto tenha permanecido oficialmente perdido e a maioria das pessoas tenha assumido que tinha sido destruído. O colecionador francês pode tê-lo vendido muito recentemente, mas tudo o que sabemos com certeza é que o palimpsesto apareceu em leilão na Christie’s em Nova York em 1998, vendido em nome de um vendedor anônimo. Foi colocado em exposição com a coluna vertebral partida para revelar todo o texto original que tinha estado na coluna vertebral quando foi examinado por Heiberg. Foi vendido a um comprador anônimo por 2 milhões de dólares em 29 de outubro de 1998, mas o novo proprietário concordou em disponibilizá-lo para pesquisas acadêmicas.
Clique na figura acima para ver uma versão maior.
Permanece um número de mistérios sobre o palimpsesto, além de quem é o atual proprietário:
Quem foi dono do palimpsesto durante os anos 1922 a 1998?
O palimpsesto foi visto como tendo uma série de ícones quando exibido pela Christie’s em Nova York em 1998, mas Heiberg não tinha mencionado nenhum ícone na obra. Os ícones foram adicionados por um dos seus proprietários para tentar aumentar o seu valor?
Os diagramas vistos na versão de On corpos flutuantes no palimpsesto são diferentes dos da tradução por William de Moerbeke. Mais estranhamente são diferentes dos que aparecem na versão de Heiberg de On corpos flutuantes na qual tem o texto do palimpsesto. De onde vieram os diagramas produzidos por Heiberg se não do palimpsesto?