Lógica simbólica
Michael Genesereth
Departamento de ciências da computação
Universidade de Stanford
Embora seja possível ensinar Lógica usando apenas a língua inglesa, isto é problemático. Frases em linguagem natural podem ser complexas; podem ser ambíguas; e não entender o significado de uma frase pode levar a erros de raciocínio.
Even frases muito simples podem ser problemáticas. Aqui vemos duas sentenças gramaticalmente legais. Elas são as mesmas em todas menos na última palavra, mas sua estrutura é totalmente diferente. Na primeira, o verbo principal é flores, enquanto na segunda é um substantivo e o verbo principal é afundado.
As flores de cerejeira na primavera.
As flores de cerejeira na primavera afundaram.
Como outro exemplo de complexidade gramatical, considere o seguinte trecho extraído do contrato de arrendamento da Universidade de Michigan. A frase neste caso é suficientemente longa e a estrutura gramatical suficientemente complexa para que as pessoas muitas vezes tenham de a ler várias vezes para compreender com precisão o que ela diz.
A Universidade pode rescindir este contrato de arrendamento quando o arrendatário, tendo feito o pedido e executado este contrato antes da matrícula, não é elegível para se matricular ou não se matricula na Universidade ou deixa a Universidade em qualquer momento antes da expiração deste contrato de arrendamento, ou por violação de qualquer disposição deste contrato de arrendamento, ou por violação de qualquer regulamento da Universidade relativo às salas residentes, ou por razões de saúde, ao fornecer ao aluno um aviso por escrito desta rescisão 30 dias antes dos dados efectivos da rescisão, a menos que a vida, membro ou propriedade esteja em risco, o Locatário se envolva na venda da compra de substâncias controladas em violação da lei federal, estadual ou local, ou o Locatário não esteja mais inscrito como estudante, ou o Locatário se envolva no uso ou posse de armas de fogo, explosivos, líquidos inflamáveis, fogos de artifício ou outras armas perigosas dentro do edifício, ou gire em falso alarme, casos em que um aviso prévio máximo de 24 horas seria suficiente.
Como exemplo de ambiguidade, suponha que eu escrevesse a frase Há uma rapariga na sala com um telescópio. Veja a Figura 6 para dois possíveis significados desta frase. Estou dizendo que há uma garota em uma sala com um telescópio? Ou estou dizendo que há uma garota na sala e ela está segurando um telescópio?
Figure 6 – Há uma garota na sala com um telescópio.
Tantas complexidades e ambiguidades podem por vezes ser humorísticas se conduzirem a interpretações que o autor não pretendia. Veja os exemplos abaixo para algumas manchetes infames de jornais com múltiplas interpretações. O uso de uma linguagem formal elimina tais ambiguidades não intencionais (e, para o melhor ou para o pior, evita também qualquer humor não intencional).
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Crowds Rushing to See Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980
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Fried Chicken Cooked in Microwave Wins Trip The Oregonian, Portland, 1981
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Como uma ilustração dos erros que surgem no raciocínio com frases em linguagem natural, considere os seguintes exemplos. No primeiro, usamos a transitividade da melhor relação para chegar a uma conclusão sobre a qualidade relativa do champanhe e da soda a partir da qualidade relativa do champanhe e da cerveja e da qualidade relativa da cerveja e da soda. Até agora tudo bem.
Champagne é melhor que a cerveja.
Beer é melhor que o refrigerante.
Então o champanhe é melhor que o refrigerante.
Agora, considere o que acontece quando aplicamos a mesma regra de transitividade no caso ilustrado abaixo. A forma do argumento é a mesma de antes, mas a conclusão é um pouco menos crível. O problema neste caso é que o uso de nada aqui é sintaticamente similar ao uso da cerveja no exemplo anterior, mas em inglês significa algo totalmente diferente.
Bad sex is better than nothing.
Nada é melhor que sexo bom.
Por isso, sexo mau é melhor que sexo bom.
Lógica simbólica elimina estas dificuldades através do uso de uma linguagem formal para codificar informação. Dada a sintaxe e semântica desta linguagem formal, podemos dar uma definição precisa para a noção de conclusão lógica. Além disso, podemos estabelecer regras de raciocínio precisas que produzem todas e apenas conclusões lógicas.
Neste sentido, existe uma forte analogia entre os métodos da Lógica Formal e os da Álgebra do Ensino Médio. Para ilustrar esta analogia, considere o seguinte problema de álgebra.
Xavier é três vezes mais antigo do que Yolanda. A idade de Xavier e a idade de Yolanda somam até doze anos. Quantos anos têm Xavier e Yolanda?
Tipicamente, o primeiro passo para resolver tal problema é expressar a informação sob a forma de equações. Se deixarmos x representar a idade de Xavier e y representar a idade de Yolanda, podemos capturar a informação essencial do problema como mostrado abaixo.
x – 3y = 0
x + y = 12
Utilizando os métodos de álgebra, podemos então manipular estas expressões para resolver o problema. Primeiro subtraímos a segunda equação da primeira.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
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Nextra, dividimos cada lado da equação resultante por -4 para obter um valor para y. Substituindo de volta em uma das equações anteriores, obtemos um valor para x.
x = 9
y = 3
Agora, considere o seguinte problema lógico.
Se Maria ama a Pati, então Maria ama a Quincy. Se for segunda-feira e estiver chovendo, então Maria ama a Pati ou Quincy. Se for segunda-feira e estiver chovendo, Maria ama Quincy?
Como com o problema da álgebra, o primeiro passo é a formalização. Que p represente a possibilidade de Maria amar Pat; que q represente a possibilidade de Maria amar Quincy; que m represente a possibilidade de que seja segunda-feira; e que r represente a possibilidade de que esteja chovendo.
Com estas abreviações, podemos representar a informação essencial deste problema com as seguintes frases lógicas. A primeira diz que p implica q, ou seja, se Maria ama Pat, então Maria ama Quincy. A segunda diz que m e r implica p ou q, isto é, se for segunda-feira e chover, então Maria ama a Pati ou Maria ama Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
As com Álgebra, A lógica formal define certas operações que podemos usar para manipular expressões. A operação mostrada abaixo é uma variante do que se chama Resolução Proposicional. As expressões acima da linha são as premissas da regra, e a expressão abaixo é a conclusão.
| p1 ∧ …. ∧ pk | >⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ …. ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ …. ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Existem duas elaborações desta operação. (1) Se uma proposta do lado esquerdo de uma frase for a mesma que uma proposta do lado direito da outra frase, não há problema em deixar cair os dois símbolos, com a ressalva de que apenas um desses pares pode ser deixado cair. (2) Se uma constante for repetida no mesmo lado de uma única frase, todas as ocorrências, exceto uma, podem ser apagadas.
Podemos usar esta operação para resolver o problema da vida amorosa de Maria. Observando as duas premissas acima, notamos que p ocorre do lado esquerdo de uma frase e do lado direito da outra. Consequentemente, podemos cancelar o p e assim concluir que, se é segunda-feira e chove, então Maria ama Quincy ou Maria ama Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Soltando o símbolo repetido do lado direito, chegamos à conclusão que, se for segunda-feira e chover, então Maria ama Quincy.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Este exemplo é interessante na medida em que mostra a nossa linguagem formal para codificar informação lógica. Tal como na álgebra, usamos símbolos para representar aspectos relevantes do mundo em questão, e usamos operadores para conectar esses símbolos de forma a expressar informações sobre o que esses símbolos representam.
O exemplo também introduz uma das operações mais importantes na Lógica Formal, a Resolução (neste caso, uma forma restrita de Resolução). Resolução tem a propriedade de ser completa para uma classe importante de problemas de lógica, ou seja, é a única operação necessária para resolver qualquer problema na classe.