Symbolic Logic
Michael Genesereth
Computer Science Department
Stanford University
英語だけで論理学を教えることは可能ですが、これには問題があります。 自然言語の文は複雑であったり、曖昧であったり、文の意味を理解できないと、推論に誤りが生じる可能性があります。 ここに、文法的に合法な 2 つの文があります。 これらは最後の単語以外はすべて同じですが、構造はまったく異なっています。 最初のものでは、主動詞は blossoms ですが、2 番目のものでは blossoms は名詞で、主動詞は sank です。
The cherry blossoms in the Spring.
The cherry blossoms in the Spring sank.
文法の複雑さの別の例として、次の University of Michigan lease agreement からの抜粋を見てみてください。 この場合の文は十分に長く、文法的な構造も十分に複雑であるため、人々はその内容を正確に理解するために何度も読まなければならないことがよくあります。
大学は、賃借人が入学前に申請し、このリースを締結した後、このリースの満了前のいかなる時点においても、大学に入学する資格がない、もしくは入学しなかった、または大学を去るとき、またはこのリースのいかなる条項にも違反した、もしくは居住ホールに関する大学の規則に違反した、または健康上の理由で、学生にこの終了について有効日の30日前に書面で通知し、この契約を終了させることができる。 ただし、生命、身体、財産が危険にさらされる場合、借主が連邦、州、または地域の法律に違反して規制物質の売買に従事する場合、借主が学生として登録されていない場合、借主が建物内で火器、爆発物、引火性液体、花火、またはその他の危険な武器を使用または所持する場合、または誤報を伝える場合は、最大24時間の通知で十分であるとします。
曖昧さの例として、There’s a girl in the room with a telescopeという文章を書いたとします。 この文の2つの可能な意味については、図6を参照してください。 私は、望遠鏡のある部屋に少女がいると言っているのでしょうか。 それとも、部屋に少女がいて、彼女は望遠鏡を持っていると言っているのか？
Figure 6 – There’s a girl in the room with a telescope.
このような複雑さや曖昧さが、作者が意図しない解釈を導き出すと、時にユーモラスになります。 複数の解釈がある悪名高い新聞の見出しについては、以下の例を参照してください。 形式的な言語を使うことで、そのような意図しない曖昧さを排除することができます（そして、良くも悪くも、意図しないユーモアも回避することができます）。
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Crowds Rushing to See Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980 |
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自然言語の文の推論で発生するエラーの例として、次の例を考えてみましょう。 最初の例では、better 関係の推移性を利用して、シャンパンとビールの相対的品質、ビールとソーダの相対的品質から、シャンパンとソーダの相対的品質についての結論を導いている。 ここまではいいとして、
シャンパンはビールよりいい ビールはソーダよりいい したがって、シャンパンはソーダよりいい Bad sex is better than nothing. Nothing is better than good sex. Therefore, bad sex is better than good sex. 記号論理は情報を符号化するための形式言語を用いてこれらの困難を解消している。 この形式言語のシンタックスとセマンティクスがあれば、論理的結論の概念を正確に定義することができる。 この点で、形式論理学の方法と高校の代数の方法の間には強い類似性がある。 このアナロジーを説明するために、次のような代数問題を考えてみよう。 ザビエルはヨランダの3倍の年齢である。 ザビエルの年齢とヨランダの年齢を足すと12になる。 ザビエルとヨランダは何歳か。 一般に、このような問題を解くには、まず情報を方程式の形で表現することが必要です。 xをザビエルの年齢、yをヨランダの年齢とすると、次のように問題の本質的な情報を捉えることができます。
x – 3y = 0 x + y = 12 次に代数学の方法を用いて、これらの式を操作して問題を解決することができます。
x – 3y = 0 x + y = 12
| -4y = -12 次にできた等式の両側を-4で割るとyが求まる。
x = 9 y = 3 さて、次の論理問題を考えてみよう。 もし、メアリーがパットを愛しているならば、メアリーもクィンシーを愛している。 もし月曜日で雨が降っているならば、メアリーはパットかクインシーを愛している。 もし月曜日で雨なら、メアリーはクインシーを愛しているか？ 代数問題と同様に、まず形式化する。 pはメアリーがパットを愛している可能性、qはメアリーがクインシーを愛している可能性、mは月曜日である可能性、rは雨が降っている可能性を表すとする。 これらの省略形により、この問題の本質的情報を以下の論理文で表現することができる。 1つ目は、pはqを暗示する、すなわち、メアリーがパットを愛しているならば、メアリーはクインシーを愛している、というものである。 2つ目は、mとrはpまたはqを意味する、つまり、もし月曜日で雨が降っているならば、メアリーはパットを愛しているか、メアリーはクインシーを愛している、というものである。
この操作には、二つの推敲がある。 (1) 一方の文の左辺の命題が他方の文の右辺の命題と同じである場合、そのようなペアは1つしか落とせないという但し書き付きで、2つの記号を落としても良いことになっている。 (2) 一つの文の同じ側に定数が繰り返されている場合は、1つ以外の出現を削除してもよい この操作を使って、メアリーの恋愛の問題を解決することができる。 上の二つの前提を見ると、pは一方の文の左辺と他方の文の右辺に出現していることに気がつく。 その結果、pをキャンセルすることで、if is Monday and raining, Mary loves Quincy または Mary loves Quincy という結論を導き出すことができるのです。
右辺の繰り返しの記号を落とします。 月曜日で雨が降っていれば、メアリーはクインシーを愛している、という結論に達します。
この例は、論理情報を符号化するための我々の形式言語を示すという意味で興味深いものである。 代数学と同様に、我々は問題の世界の関連する側面を表すために記号を使用し、それらの記号が表すものについての情報を表現するために、これらの記号を接続する演算子を使用する。 解決は論理問題の重要なクラスに対して完全であるという性質を持っており、つまりそのクラスのどの問題をも解決するのに必要な唯一の操作である 。 |
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