負の数の平方根が実数で定義されていないのと同じように、負の数の対数も実数で定義されていません。 負の数の対数を求めろと言われたら、ほとんどの場合「未定義」で十分です。
評価することは可能ですが、答えは複素数になります。 (#a + bi#, where #i = sqrt(-1)# という形の数)
もしあなたが複素数に慣れていて、それを扱うのが好きなら、この先を読んでください。
後で簡単にするために、基数変化の法則を使って自然対数に変換します:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
#ln(-x)# は #ln(-1 * x) # と同じものであることに注意してください。 対数の加算特性を利用して、この部分を2つのログに分離することができます：
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
さて唯一の問題は#ln(-1)#が何かということを理解することです。
オイラーの恒等式は次のように述べています:
#e^(ipi) = -1#
この結果はサインとコサインの力列展開から来ます。 (あまり深い説明はしませんが、興味のある方はここにもう少し説明したいいページがあります)
とりあえず、オイラー恒等式の両辺の自然対数を簡単に取ってみましょう：
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
簡略化してみました。
#ipi = ln(-1)#
さて、#ln(-1)#が何かわかったので、式に代入します：
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
これで負の数の対数を求める公式ができましたね。 つまり、#log_2 10#のようなものを評価したい場合、単純にいくつかの値を突っ込めばよいのです：
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approx 3.3219 + 4.5324i#
。