無限大

数学的無限大

古代ギリシャ人は無限をapeironという言葉で表現したが、これは無限の、不定の、未定の、形のないといった意味合いを持っていた。 数学における無限大の最も古い表現の1つは、正方形の対角線と辺の比に関するものである。 ピタゴラス（前580-500年頃）とその弟子たちは、当初、世界のあらゆる様相は整数（0、1、2、3、…）だけの配列で表現できると考えていたが、対角線と正方形の辺が不可分であること、すなわち両者の長さを共通の単位（または測定棒）の整数の倍数で表現できないことに驚いて、このことを発見したのである。 現代数学では、この発見を「比が不合理である」「繰り返しのない無限の10進数の極限である」と表現している。 長さ1の辺を持つ正方形の場合、対角線は1.414213562…と書かれた√2の平方根で、省略記号(…)はパターンのない無限の桁の並びを表している。 アリストテレスは「実際の」無限性（空間的、時間的、数的）を否定し、無限に数えられるという「潜在的」無限性とは区別して、その後の千年以上の思想に影響を及ぼした。 実際の無限大の使用を避けるために、クニドスのエウドクソス（前400-350年頃）とアルキメデス（前285-212/211年頃）は、後に消尽法として知られる技術を開発した。これは、測定単位を次々と半分にしていき、残りの面積がある固定値以下になるまで面積を計算する（残りの領域は「消尽」した）ものである。

無限に小さい数の問題は、1600年代後半にイギリスの数学者アイザック・ニュートンとドイツの数学者ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによる微積分の発見へとつながった。 ニュートンは、微分（傾き）の計算を正当化するために、無限に小さい数、すなわち無限小の理論を独自に導入した。 ある点（x, y）で曲線に接する直線の傾き（xの変化に対するyの変化）を求めるには、xからdxだけ無限小に動かしたときのyの変化dyとdxの比が有効であると考えたのである。 1960年代、ドイツ生まれの数学者エイブラハム・ロビンソンによる非標準解析学の発展により、無限小数の使用はようやく確固たる地位を得るに至った。 今すぐ購読する

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数学における無限大のより直接的な利用は、直線上の点の集合（実数）や数を数える集合などの無限集合のサイズを比較する努力によって生じます。 数学者は無限の大きさについて語るとき、数についての普通の直感が誤解を招くという事実にすぐに気がつく。 中世の思想家たちは、様々な長さの線分が同じ数の点を持つように見えるという逆説的な事実に気づいていた。 例えば、図のように半径が2倍（つまり円周が2倍）の同心円を2つ描くと、1つの円はもう1つの円の半径の2倍になる。 驚くべきことに、外側の円上の各点Pは、それらの共通の中心OからPに線を引き、内側の円との交点をP′とすることで、内側の円上の固有の点Pと対にすることができるのである。 直感的には、外側の円は内側の円の2倍の点を持つはずだが、この場合、無限大は2倍の無限大と同じに思える。 1600年代初頭、イタリアの科学者ガリレオ・ガリレイがこの問題と、現在「ガリレオのパラドックス」として知られている同様の非直観的な結果に取り組みました。 ガリレオは、数を数える集合が、その数の2乗という一見ずっと小さい集合と一対一で対応できることを証明した。 さらに、数を数える集合とその倍数の集合（偶数の集合）が対になることも示した。 ガリレオは、「無限の量について、一方が他方より大きいとか小さいとか等しいとか言うことはできない」と結論づけた。 このような例から、1872年にドイツの数学者リチャード・デデキントは、ある適切な部分集合と一対一の関係に置くことができるものを無限集合と定義することを提案したのである。

無限数についての混乱は、ドイツの数学者Georg Cantorが1873年に始めて解決しました。 まずカントールは有理数（分数）の集合が数え役満と同じ大きさであることを厳密に証明し、それゆえそれらは可算（denumerable）と呼ばれるようになったのである。 もちろん、これは衝撃的なことではなかったが、同年末、カントールは「無限はすべて等しいわけではない」という驚くべき結果を証明したのである。 カントールは、いわゆる「対角線論法」を用いて、数え切れない数の大きさは、実数の大きさより厳密に小さいことを示したのである。 この結果はカントールの定理として知られている。

集合を比較するために、カントールはまず特定の集合とその大きさ、つまりカージナリティという抽象的な概念とを区別した。 有限集合とは異なり、無限集合はそれ自身の適切な部分集合と同じ基数を持つことができる。 カントールは対角線上の議論を用いて、どのような集合の基数もその冪集合、すなわち与えられた集合の可能な部分集合をすべて含む集合の基数より小さくなければならないことを示した。 一般に、n個の要素を持つ集合は2n個の要素を持つ冪集合を持ち、この2つの基数はnが無限大のときでも異なる。 カントールは、無限集合の大きさを “トランスフィニット・カーディナル “と呼んだ。 彼の議論は、無限に異なる大きさの超限カージナル（計数集合や実数集合のカージナルなど）が存在することを示した。

超限カージナルにはアレフヌル（整数集合の大きさ）、アレフ1（次の大きな無限大）、連続体（実数の大きさ）などが含まれる。 この3つの数は、それぞれℵ0、ℵ1、cとも書かれる。 選択公理と呼ばれる原理とともに、カントールの定理の証明方法は、ℵ1を過ぎてℵ2やℵ0などの数まで続く超限界基数を無限に確保することができる。

連続体問題とは、アレフのどれが連続体カージナルに等しいかを問うものである。 カントールはc=ℵ1と予想した。これはカントールの連続体仮説(CH)として知られている。 CHはまた、直線上の任意の点集合は可算でなければならない（大きさがℵ0以下でなければならない）、あるいは空間全体と同じ大きさでなければならない（大きさがcでなければならない）と述べていると考えることもできる

1900年代初頭に無限集合の徹底した理論が開発された。 この理論はZFCと呼ばれ、Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choiceの頭文字をとったものである。 CHは、ZFCの公理に基づいて決定不可能であることが知られている。 1940年にオーストリア生まれの論理学者クルト・ゲーデルがCHを反証できないことを示し、1963年にはアメリカの数学者ポール・コーエンがCHを証明できないことを示した。 集合論者は、CHを解決するために、ZFCの公理を合理的に拡張する方法を模索し続けている。 最近の研究では、CHは誤りであり、cの真の大きさはより大きな無限大ℵ2であるかもしれないことが示唆されている。