世界で一番大きい数は？

数学の授業中に一番大きい数は何かと尋ねたことがあるなら、聡明な人が次のような答えを口にする可能性はかなり高いでしょう。 「それは簡単です! もちろん、無限大です！」

無限大の唯一の問題は、それが数字ではないことです。

光輝1：「無限大は世界で一番大きな数だ、簡単だろう！」

光輝2：「それならもっと大きな数を持ってきたぞ、無限大＋1だ！」

光輝1はまたしても、「無限大は世界で一番大きな数だ、簡単だろう？ 「無限大に1を足して100万倍だ！」

このような会話が延々と続き、どちらも世界最大の数字にたどり着けませんでした。 しかし、「無限大にはさまざまな大きさがある」という衝撃的な事実を、まだ誰も2人に教えてくれません。

数え上げ数の無限性

無限大の数の集合を作る最も簡単な方法は、整数で数え上げることである。 この数字の集合は自然数と呼ばれ、永遠に数え続けることができるので、明らかに無限大の大きさです。

この集合をと呼びます（私たちのラベル）。 この2つは同じ大きさなのでしょうか。

の要素との要素が1対1で対応することを示すことで、とが実際に同じ大きさであることを示すことができるのです。

…

今までならの大きさは単に無限大で、その横に数字の8のように書かれている：と言っていたはずです。

しかし、無限大にはさまざまな大きさがあることがわかりましたので、の大きさを（「アレフ・ゼロ」と発音する）とします。 は無限大の最小の大きさで，集合もの大きさです。

大きさが

である他の集合

無限大のである数の集合は，他にもたくさんあります。 正の偶数整数の集合や、有理数の集合などである。 有理数とは、分数として書けるすべての数のことである。 3677>

可能なすべての分数を下のような表に書き出すことができる。 等価な分数は、例えばのように2回以上現れるかもしれないが、表から繰り返しを簡単に取り除くことができる。 次に、対角線上にパターンを描くと、分数をリストにすることができる。 5700>…

分数のリストができれば、それらは数えることができます。したがって、有理数は数えられると言われています。

より大きい無限の大きさはどのように見つけるか？

すべての数が分数に書けるわけではないんです。 分数として書けない数は無理数と呼ばれます。 よく知られているのはや、などの数です。

などの無理数の十進展開（3.1415926535・・・）は永遠に続き、人々はをの近似として使いたいと思っていますが、これらの数は決して分数として書くことができないのです。

ここで0と1の間にあるすべての数の集合を見てみよう。この集合にはのような有理数ものような無理数も含まれる。この数の集合は明らかに無限大であり、間隔（0，1）に含まれる数は常にもっともっと考えることができるのである。

1873年にゲオルク・カントールというドイツの数学者が、区間 (0,1) にあるすべての実数の集合の大きさは、自然数 の集合の大きさよりも大きな無限大であるという非常に賢い証明を考案した。

カントールの有名な対角線論争のまとめ

区間 (0,1) のすべての実数の集合の大きさは と同じだと仮定しよう。 そして、0 と 1 の間の実数をカウントアップするリストを作成します。もし私たちがあまり論理的でなければ、次のようになります:

Cantor の本当に賢い次のステップは、リスト上にない新しい数を構築したことです。 3677>

リストにない数を選ぶカントールの賢い方法

この新しい数は明らかにリストになく、カントールは矛盾を発見していました。カントールは、自然数と実数の間には間隔(0,1)において決して1対1の対応を取ることができないことを示しました。 カントールは、実数の大きさが自然数の大きさよりも大きいことを証明したのである！実数の大きさは、自然数の大きさよりも大きい。 実数は数え切れない 無限大にはさまざまな大きさがある！

結論として、世界で一番大きな数は何かという問いに対する答えは、一筋縄ではいかないのです。 一言で言えば、最大の数は存在しない、永遠に数え続けることができるのです。 しかし、2つの数のグループを見つけることもできます。どちらも大きさが無限で、しかも互いに大きさが違うのです。 考えてみると、本当に信じられないことです！

最大の数。

最大の数：さらなる読み物

この記事は、この魅力的で気の遠くなるようなトピックの表面をかすめたにすぎません。 さらに読みたければ、プラスマガジンの「連続体仮説」を試してみてください。 もしあなたが学位レベルで数学を学ぶのであれば、集合論として知られるものを学ぶ機会があり、この記事で取り上げたトピックをより詳しくカバーすることができるでしょう。