White noise vectorEdit
ランダムベクトル（つまり実数のベクトルを生成する部分不定過程）は、その成分がそれぞれゼロ平均と有限分散の確率分布を持ち、統計的に独立している、つまりその結合確率分布が個々の成分の分布の積でなければならないと、ホワイトノイズベクトルまたは白色ランダムベクトルと呼ばれる。
2つの変数の統計的独立性の必要条件（ただし、一般的には十分ではない）は、それらが統計的に相関しないこと、すなわち、それらの共分散がゼロであることである。 したがって、n個の要素を持つホワイトノイズベクトルwの成分の共分散行列Rは、各対角要素Riiが成分wiの分散であるn×n対角行列でなければならず、相関行列はn×n恒等行列でなければならない。
独立であるだけでなく、w中のすべての変数もゼロ平均と同じ分散σ 2 {displaystyle \sigma ^{2}} で正規分布しているとしたら、それは独立である。
, wはガウス白色雑音ベクトルと言われる。 その場合、wの結合分布は多変量正規分布となり、変数間の独立性から、この分布はn次元空間において球対称性を持つことになる。 したがって、このベクトルを直交変換すると、ガウス白色ランダムベクトルになります。 特に、FFTやHartleyなどのほとんどの離散フーリエ変換の下では、wの変換Wもガウス白色雑音ベクトルになります。つまり、wのn個のフーリエ係数は平均が0で同じ分散の独立ガウス変数σ2 {displaystyle \sigma ^{2}} となるのです。
.
ランダムなベクトルwのパワースペクトルPは、そのフーリエ変換Wの各係数の二乗剰余の期待値、すなわちPi=E(|Wi|2)と定義できる。 この定義の下で、ガウス白色雑音ベクトルは、すべての i に対して Pi = σ2 で、完全に平坦なパワースペクトルを持ちます。
もし w がガウスでない白色ランダムベクトルなら、そのフーリエ係数 Wi は互いに完全に独立とはなりません。しかし大きな n と共通の確率分布では依存関係は非常に微妙で、それらの対相関はゼロと仮定することができます。
ホワイトノイズの定義では、「統計的に独立」ではなく、「統計的に相関がない」という弱い条件が使われることがよくあります。 しかし、一般に期待されるホワイトノイズの特性（平坦なパワースペクトルなど）のいくつかは、この弱いバージョンでは成立しないかもしれない。 この仮定の下では、より厳密なバージョンは独立な白色雑音ベクトルとして明示的に参照することができます。
弱い意味で「ガウス白色雑音」であるが強い意味ではないランダムベクトルの例は、x=で、x1はゼロ平均の正規確率変数、x2は同じ確率で+x1または-x1に相当します。 この2つの変数は相関がなく、個々に正規分布しているが、合同で正規分布しておらず、独立ではない。 xが45度回転しても、その2成分は無相関であるが、その分布はもはや正規分布ではない。
ある状況では、白色ランダムベクトルwの各成分がゼロでない期待値μ{ {displaystyle \mu }を持つことを許容して定義を緩和してもよい。
. 特に画像処理では、サンプルは正の値に制限されることが多いので、μ {displaystyle \mu } を取ることがよくあります。
は最大サンプル値の2分の1である。 その場合、ゼロ周波数成分に対応するフーリエ係数W0（実質的にはwiの平均）も期待値μn {displaystyle \mu {sqrt {n}}} がゼロでないことになる。
;そしてパワースペクトルPはゼロでない周波数に対してのみ平坦となる。
Discrete-time white noiseEdit
離散時間確率過程W {displaystyle W} は …離散時間確率過程W{}の場合。
は、有限個の成分を持つランダムベクトルを無限個の成分に一般化したものである。 A discrete-time stochastic process W {\displaystyle W}
平均値が時間n{displaystyle n}に依存しない場合、ホワイトノイズと呼ばれる。
はゼロに等しく、すなわち E ]= 0 { {displaystyle \operatorname {E} } となる。 ]=0}
とし、自己相関関数R W = E W ]とすると {displaystyle R_{W}=operatorname {E}} W]}
only depends on n {displaystyle n}.
but not on k {displaystyle k}.
そして、n = 0 {displaystyle n=0}のときだけ非ゼロ値を持つ。
, すなわち R W = σ 2 δ {displaystyle R_{W}=sigma ^{2}delta } } }.
.
連続時間ホワイトノイズEdit
連続時間信号の理論において「ホワイトノイズ」の概念を定義するためには、「ランダムベクトル」の概念を連続時間ランダム信号で置き換える必要がある。
実数値パラメータt {displaystyle t}の
.
このようなプロセスは、値w ( t ) {displaystyle w(t)}が強い意味でホワイトノイズであると言われています。
for any time t {displaystyle t}.
はt以前の全履歴{displaystyle t}から統計的に独立な確率変数である。
. より弱い定義では、値 w ( t 1 ) {displaystyle w(t_{1})} の間だけの独立性を必要とします。
と w ( t 2 ) {displaystyle w(t_{2})} がある。
at every pair of distinct times t 1 {displaystyle t_{1}}.
と t 2 {}displaystyle t_{2}} があります。
. さらに弱い定義では、このようなペア w ( t 1 ) {displaystyle w(t_{1})} が必要なだけです。
と w ( t 2 ) {displaystyle w(t_{2})} がある。
は無相関である。 離散の場合と同様に、著者によっては「白色雑音」に対して弱い方の定義を採用し、強い方の定義のいずれかを参照するためにindependentという修飾語を用いている。 また、weakly whiteとstrongly whiteを使い分け、両者を区別している人もいます。
しかし、これらの概念の正確な定義は、有限離散の場合の有限和であるいくつかの量を、収束しないかもしれない積分で置き換える必要があるため、些細なことではないのです。 実際、信号wのすべての可能なインスタンスの集合{displaystyle w} は
はもはや有限次元空間R n {displaystyle \mathbb {R} ^{n}} でない。
ではなく、無限次元の関数空間となる。 さらに、任意の定義により、白色雑音信号w { {displaystyle w} は
はすべての点で本質的に不連続でなければならないので、w {displaystyle w} に対する最も簡単な操作でさえも。
のように、有限区間の積分のように、高度な数学的機械が必要なのです。
ある著者は各値w ( t ) {displaystyle w(t)} を要求する。
は期待値μ {displaystyle \mu } の実数値確率変数であること。
とある有限の分散σ 2 {displaystyle \sigma ^{2}} がある。
. とすると、共分散 E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) は {displaystyle \mathrm {E}. (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}
2つの時刻t 1 {displaystyle t_{1}} における値同士の間。
とt 2 {}displaystyle t_{2}} の2つです。
はよく定義されており、時刻が異なる場合は0、σ 2 {displaystyle \sigma ^{2}} は
が等しい場合である。 しかし、この定義では、積分値W = ∫ a a + r w ( t ) d t {displaystyle W_{}=int _{a}^{a+r}w(t)\,dt} となる。
over any interval with positive width r {displaystyle r}.
は単純に幅×期待値: r μ {displaystyle rmu } となります。
. この性質は、物理的な「ホワイトノイズ」信号のモデルとして、この概念を不適切なものにしてしまう。
そのため、ほとんどの著者は信号w {displaystyle w}を定義している。
w ( t ) {displaystyle w(t)} の積分値にゼロでない値を指定することで間接的に行う。
と｜w ( t ) ｜ 2 {displaystyle |w(t)|^{2}} の2つです。
任意の区間 {displaystyle } にわたっている。
, as function of its width r {displaystyle r}.
. しかし、この方法では、w ( t ) {displaystyle w(t)} の値は、”0 “になります。
のように、ある孤立した時間における実数値の確率変数として定義することはできない。 また共分散E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {displaystyle \mathrm {E}. (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}
t 1 = t 2 {displaystyle t_{1}=t_{2}} のとき無限大となる。
;そして自己相関関数R ( t 1 , t 2 ) {displaystyle \mathrm {R} (t_{1},t_{2})} } }.
は、N δ ( t 1 – t 2 ) {displaystyle Nttpdelta (t_{1}-t_{2})} として定義する必要があります。
, ここで、N {\displaystyle N} 。
は実数の定数、δ {displaystyle \delta } は実数の定数です。
はDiracの “関数 “である。
この方法では、通常、積分W I {displaystyle W_{I}}を指定する。
of w ( t ) {displaystyle w(t)} ………………。
over an interval I = {displaystyle I=}.
は正規分布、ゼロ平均、分散 ( b – a ) σ 2 {displaystyle (b-a)\sigma ^{2}} を持つ実数ランダム変数である。
;また共分散E ( W I ⋅ W J ) {displaystyle \mathrm {E}} は (W_{I} cdot W_{J})}.
の積分値 W I {displaystyle W_{I}} のこと。
, W J {displaystyle W_{J}}.
は r σ 2 {displaystyle rsigma ^{2}} です。
, ここで r { {displaystyle r}.
は交差点I ∩ J {displaystyle Icap J} の幅である。
of two intervals I , J {displaystyle I,J}.
. このモデルをガウス白色ノイズ信号（またはプロセス）と呼ぶ。