パネルは
X i t , i = 1 , … , N , t = 1 , … , T , {displaystyle X_{it},\quad i=1,\dots ,N,\quad t=1,\dots ,T,}
形を持っており、ここでi {displaystyle i} は次の通りである。
は個別次元、t {displaystyle t}は個別次元である。
は時間次元である。 一般的なパネルデータ回帰モデルは、y i t = α + β ′ X i t + u i t と記述される。 {displaystyle y_{it}=Thresholdalpha +Thresholdbeta ‘X_{it}+u_{it}.} となる。
この一般的なモデルの正確な構造については、様々な仮定が可能である。 重要なモデルは固定効果モデルとランダム効果モデルの2つである。
一般的なパネルデータモデルを考えてみよう：
y i t = α + β′ X i t + u i t , {displaystyle y_{it}=\alpha +β ‘X_{it}+u_{it},}
u i t = μ i + v i t . {displaystyle u_{it}=NTU _{i}+V_{it}.}.
μ i {displaystyle \mu _{i}} .
は個人特有の時不変の効果（例えば、国のパネルでは地理や気候などが含まれる）で、時間の経過とともに固定されるが、v i t {displaystyle v_{it}} は、そのような効果ではない。
は時変のランダム成分である。
If μ i {displaystyle \mu _{i}}
は観測されず、独立変数の少なくとも1つと相関がある場合、標準的なOLS回帰では省略変数バイアスが発生する。 しかし、固定効果推定量や第一差分推定量などのパネルデータ法を用いれば、それを制御することができる。
If μ i {displaystyle \mu _{i}}.
がどの独立変数とも相関がない場合、通常の最小二乗線形回帰法を用いて、回帰パラメータの不偏かつ一貫した推定値を得ることができる。 しかし、μi {displaystyle \mu _{i}} は、独立変数と相関がないため、通常の最小二乗法による線形回帰法では不偏の推定値が得られる。
は時間的に固定されているため、回帰の誤差項に系列相関を引き起こすことになる。 これは、より効率的な推定技術が利用可能であることを意味する。 ランダム効果もその一つで、μ i {displaystyle \mu _{i}} によって誘発される系列相関の構造を制御する実現可能な一般化最小二乗法の特殊な場合である。
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Dynamic panel dataEdit
Dynamic panel dataは、従属変数のラグを回帰変数として使用する場合について説明するものである。
y i t = α + β′ X i t + γ y i t – 1 + u i t , {displaystyle y_{it}=alpha +beta ‘X_{it}+γ y_{it-1}+u_{it},}
遅延従属変数が存在すると、厳格な独立性、すなわち内生性が発生しかねない。 固定効果推定量も第一差分推定量も厳密な外生性の仮定に依存している。 したがって、もしu i {displaystyle u_{i}} が
が独立変数のひとつと相関していると考えられる場合は、別の推定手法を使用しなければならない。 このような状況では、Arellano-Bond推定量のような道具変数またはGMM技法が一般的に使用されます。