Infinidade

Infinidades matemáticas

Os antigos gregos expressavam o infinito pela palavra apeiron, que tinha conotações de ser sem limites, indefinido, indefinido e sem forma. Uma das primeiras aparências do infinito na matemática diz respeito à relação entre a diagonal e o lado de um quadrado. Pitágoras (c. 580-500 bce) e seus seguidores acreditavam inicialmente que qualquer aspecto do mundo poderia ser expresso por um arranjo envolvendo apenas os números inteiros (0, 1, 2, 3,…), mas ficaram surpresos ao descobrir que a diagonal e o lado de um quadrado são incomensuráveis – isto é, seus comprimentos não podem ser ambos expressos como múltiplos de números inteiros de qualquer unidade compartilhada (ou bastão de medição). Na matemática moderna esta descoberta é expressa dizendo que a razão é irracional e que é o limite de uma série decimal interminável e não repetitiva. No caso de um quadrado com lados de comprimento 1, a diagonal é a raiz quadrada of√2, escrita como 1.414213562…, onde a elipse (…) indica uma sequência infinita de dígitos sem padrão.

Both Plato (428/427-348/347 bce) e Aristóteles (384-322 bce) compartilharam a abominação grega geral da noção de infinito. Aristóteles influenciou o pensamento subsequente por mais de um milênio com sua rejeição do infinito “atual” (espacial, temporal ou numérico), que ele distinguiu do infinito “potencial” de ser capaz de contar sem fim. Para evitar o uso do infinito real, Eudoxus de Cnidus (c. 400-350 bce) e Arquimedes (c. 285-212/211 bce) desenvolveram uma técnica, mais tarde conhecida como método de exaustão, pela qual uma área era calculada reduzindo pela metade a unidade de medida em estágios sucessivos até que a área remanescente estivesse abaixo de algum valor fixo (a região remanescente tendo sido “exaurida”).

A questão dos números infinitamente pequenos levou à descoberta do cálculo no final do século XVI pelo matemático inglês Isaac Newton e pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton introduziu sua própria teoria de números infinitamente pequenos, ou infinitesimais, para justificar o cálculo de derivadas, ou declives. A fim de encontrar a inclinação (ou seja, a mudança em y sobre a mudança em x) para uma linha que toca uma curva em um determinado ponto (x, y), ele achou útil olhar para a razão entre dy e dx, onde dy é uma mudança infinitesimal em y produzida pelo movimento de uma quantidade infinitesimal dx de x. Infinitesimais foram fortemente criticados, e grande parte da história inicial da análise girou em torno de esforços para encontrar uma base alternativa e rigorosa para o sujeito. O uso de números infinitesimais finalmente ganhou uma base firme com o desenvolvimento de análises não padronizadas pelo matemático nascido na Alemanha Abraham Robinson nos anos 60.

Um uso mais direto do infinito em matemática surge com esforços para comparar os tamanhos de conjuntos infinitos, como o conjunto de pontos em uma linha (números reais) ou o conjunto de números de contagem. Os matemáticos ficam rapidamente impressionados com o fato de que as intuições comuns sobre números são enganosas quando se fala de tamanhos infinitos. Os pensadores medievais estavam cientes do fato paradoxal de que segmentos de linhas de comprimentos variáveis pareciam ter o mesmo número de pontos. Por exemplo, desenhar dois círculos concêntricos, um duas vezes o raio (e portanto o dobro da circunferência) do outro, como mostra a figura. Surpreendentemente, cada ponto P no círculo exterior pode ser emparelhado com um ponto único P′ no círculo interior desenhando uma linha do seu centro comum O a P e marcando a sua intersecção com o círculo interior P′. A intuição sugere que o círculo exterior deve ter o dobro dos pontos do círculo interior, mas neste caso o infinito parece ser o mesmo que o dobro do infinito. No início dos anos 1600, o cientista italiano Galileu Galilei abordou isso e um resultado similar não-intuitivo agora conhecido como o paradoxo de Galileu. Galileu demonstrou que o conjunto de números de contagem poderia ser colocado em uma correspondência um-para-um com o conjunto aparentemente muito menor de seus quadrados. Ele também mostrou que o conjunto de números de contagem e seus pares (ou seja, o conjunto de números pares) poderiam ser emparelhados. Galileu concluiu que “não podemos falar de quantidades infinitas como sendo uma maior ou menor que a outra ou igual a outra”. Tais exemplos levaram o matemático alemão Richard Dedekind, em 1872, a sugerir uma definição de um conjunto infinito como aquele que poderia ser colocado em uma relação de um para um com algum subconjunto adequado.

A confusão sobre números infinitos foi resolvida pelo matemático alemão Georg Cantor a partir de 1873. Primeiro Cantor demonstrou rigorosamente que o conjunto de números racionais (frações) é do mesmo tamanho que os números de contagem; por isso, eles são chamados de contabilizáveis, ou denumeráveis. Claro que isto não foi um verdadeiro choque, mas mais tarde nesse mesmo ano Cantor provou o resultado surpreendente de que nem todos os infinitos são iguais. Usando um chamado “argumento diagonal”, Cantor mostrou que o tamanho dos números de contagem é estritamente menor do que o tamanho dos números reais. Este resultado é conhecido como o teorema de Cantor.

Para comparar conjuntos, Cantor primeiro distinguiu entre um conjunto específico e a noção abstrata de seu tamanho, ou cardinalidade. Ao contrário de um conjunto finito, um conjunto infinito pode ter a mesma cardinalidade que um subconjunto próprio de si mesmo. Cantor usou um argumento diagonal para mostrar que a cardinalidade de qualquer conjunto deve ser menor que a cardinalidade de seu conjunto de potência – ou seja, o conjunto que contém todos os subconjuntos possíveis do conjunto dado. Em geral, um conjunto com n elementos tem um conjunto de potências com 2n elementos, e estas duas cardinalidades são diferentes mesmo quando n é infinito. Cantor chamou aos tamanhos dos seus conjuntos infinitos “cardeais transfinitos”. Seus argumentos mostraram que existem cardeais transfinitos de infinitos tamanhos diferentes (tais como os cardeais do conjunto de números de contagem e o conjunto de números reais).

Os cardeais transfinitos incluem aleph-null (o tamanho do conjunto de números inteiros), aleph-one (o próximo infinito maior), e o contínuo (o tamanho dos números reais). Estes três números também estão escritos como ℵ0, ℵ1, e c, respectivamente. Por definição ℵ0 é menor que ℵ1, e pelo teorema de Cantor ℵ1 é menor ou igual a c. Juntamente com um princípio conhecido como o axioma de escolha, o método de prova do teorema de Cantor pode ser usado para garantir uma sequência infinita de cardeais transfinitas que continuam passando por ℵ1 para números como ℵ2 e ℵℵ0.

O problema do continuum é a questão de qual dos alephs é igual à cardinalidade do continuum. Cantor conjeturou que c = ℵ1; isto é conhecido como a hipótese do continuum de Cantor (CH). CH também pode ser pensado como afirmando que qualquer conjunto de pontos na linha ou deve ser contável (de tamanho menor ou igual a ℵ0) ou deve ter um tamanho tão grande quanto todo o espaço (ser de tamanho c).

No início dos anos 1900 foi desenvolvida uma minuciosa teoria de conjuntos infinitos. Esta teoria é conhecida como ZFC, que representa a teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel com o axioma de escolha. O CH é conhecido por ser indecidível com base nos axiomas em ZFC. Em 1940 o lógico nascido na Áustria Kurt Gödel foi capaz de mostrar que o ZFC não pode refutar o CH, e em 1963 o matemático americano Paul Cohen mostrou que o ZFC não pode provar o CH. Os teóricos continuam a explorar formas de ampliar os axiomas do ZFC de uma forma razoável para resolver o CH. Trabalhos recentes sugerem que o CH pode ser falso e que o tamanho verdadeiro do c pode ser o maior infinito ℵ2.