Voimalait: How Nonlinear Relationships Amplify Results

Defining A Power Law

Ajatellaanpa henkilöä, joka aloittaa painonnoston ensimmäistä kertaa.

Ensimmäisten harjoitustensa aikana hän pystyy nostamaan vain pientä painoa. Mutta kun he panostavat enemmän aikaa, he huomaavat, että jokaisella harjoituskerralla heidän voimansa kasvaa yllättävän paljon.

Joitakin aikoja he tekevät valtavia parannuksia. Lopulta heidän edistymisensä kuitenkin hidastuu. Aluksi he pystyivät kasvattamaan voimiaan jopa 10 % per harjoituskerta; nyt kestää kuukausia ennen kuin he pystyvät parantamaan voimiaan edes yhdellä prosentilla. Ehkä he turvautuvat suorituskykyä parantavien lääkkeiden käyttöön tai harjoittelevat useammin. Heidän motivaationsa hiipuu, ja he huomaavat loukkaantuvansa ilman, että heidän nostokykynsä todella muuttuu.

Kuvitellaanpa nyt, että turhautunut painonnostajamme päättää ryhtyä juoksemaan sen sijaan. Jotain vastaavaa tapahtuu. Vaikka ensimmäiset juoksulenkit ovat uskomattoman vaikeita, henkilön kestävyys paranee nopeasti joka viikko, kunnes se tasaantuu ja vähenevät tuotot alkavat jälleen.

Kummatkin näistä tilanteista ovat esimerkkejä voimalaeista – kahden asian välisestä suhteesta, jossa muutos yhdessä asiassa voi johtaa suureen muutokseen toisessa, riippumatta alkuperäisistä määristä. Molemmissa esimerkeissämme pieni ajallinen panostus yrityksen alussa johtaa suorituskyvyn suureen kasvuun.

Voimalainat ovat mielenkiintoisia, koska ne paljastavat yllättäviä korrelaatioita toisistaan poikkeavien tekijöiden välillä. Mentaalimallina potenssilait ovat monipuolisia, ja niillä on lukuisia sovelluksia eri tiedonaloilla.

Jos osa tästä kirjoituksesta näyttää pelottavalta ei-matemaatikoille, kärsivällisyyttä. Potenssilakien taustalla olevan matematiikan ymmärtäminen kannattaa niiden monien sovellusten hahmottamiseksi. Sijoita hieman aikaa tämän lukemiseen ja niittää arvoa – joka on itsessään esimerkki potenssilaista!

Potenssilaki esitetään usein yhtälöllä, jossa on eksponentti:

Y=MX^B

Jokainen kirjain edustaa lukua. Y on funktio (tulos); X on muuttuja (asia, jota voi muuttaa); B on skaalausaste (eksponentti) ja M on vakio (muuttumaton).

Jos M on yhtä suuri kuin 1, yhtälö on silloin Y=X^B. Jos B=2, yhtälöstä tulee Y=X^2 (Y=X neliössä). Jos X on 1, myös Y on 1. Mutta jos X=2, niin Y=4; jos X=3, niin Y=9, ja niin edelleen. Pieni muutos X:n arvossa johtaa suhteessa suureen muutokseen Y:n arvossa.

B=1 tunnetaan lineaarisena skaalautumislakina.

Kakun reseptin kaksinkertaistamiseksi tarvitaan kaksinkertainen määrä jauhoja. Kaksi kertaa pidemmän matkan ajaminen kestää kaksi kertaa kauemmin. (Paitsi jos sinulla on lapsia, jolloin sinun on otettava huomioon vessatauot, joilla ei näennäisesti ole juurikaan tekemistä matkan kanssa). Lineaariset suhteet, joissa kaksi kertaa suurempi vaatii kaksi kertaa enemmän, ovat yksinkertaisia ja intuitiivisia.

Epälineaariset suhteet ovat monimutkaisempia. Näissä tapauksissa ei tarvita kaksinkertaista määrää alkuperäistä arvoa, jotta saadaan kaksinkertainen lisäys johonkin mitattavaan ominaisuuteen. Esimerkiksi meitä kaksi kertaa suurempi eläin tarvitsee vain noin 75 % enemmän ruokaa kuin me. Tämä tarkoittaa, että kokoyksikköä kohti laskettuna suuremmat eläimet ovat energiatehokkaampia kuin pienemmät. Kun eläimet kasvavat suuremmiksi, kunkin yksikön elättämiseen tarvittava energia vähenee.

Yksi kompleksisen systeemin ominaisuuksista on se, että systeemin käyttäytyminen poikkeaa sen osien yksinkertaisesta yhteenlaskusta. Tätä ominaisuutta kutsutaan emergentiksi käyttäytymiseksi. ”Monissa tapauksissa”, kirjoittaa Geoffrey West teoksessa Scale: The Universal Laws of Growth, Innovation, Sustainability, and the Pace of Life in Organisms, Cities, Economies, and Companies” (Kasvun, innovaation, kestävyyden ja elämän tahdin yleismaailmalliset lainalaisuudet organismeissa, kaupungeissa, talouksissa ja yrityksissä), ”kokonaisuus näyttää saavan oman elämänsä, joka on melkein irrallaan sen yksittäisten rakennusosien ominaispiirteistä.”

Tätä kollektiivista lopputulosta, jossa systeemi ilmentää merkittävästi erilaisia ominaisuuksia kuin ne, jotka syntyvät, kun yksinkertaisesti lasketaan yhteen sen yksittäisten osien kaikki panokset, kutsutaan emergentiksi käyttäytymiseksi.

Kun lähdemme ymmärtämään monimutkaista systeemiä, intuitiomme käskee meitä hajottamaan sen osiin. Tämä on kuitenkin lineaarista ajattelua, ja se selittää, miksi niin suuri osa monimutkaisuutta koskevasta ajattelustamme jää vajaaksi. Pienet muutokset monimutkaisessa järjestelmässä voivat aiheuttaa äkillisiä ja suuria muutoksia. Pienet muutokset aiheuttavat kaskadeja toisiinsa kytkeytyneiden osien välillä, kuten ensimmäisen dominon kaatuminen pitkässä rivissä.

Palataanpa esimerkkiin hypoteettisesta painonnostajasta, josta on tullut juoksija. Kun hän käyttää enemmän aikaa tien päällä, hänen edistymiselleen syntyy luonnollisesti rajoitteita.

Palautetaan mieleen eksponenttiyhtälömme: Y=MX^B. Kokeile soveltaa sitä juoksijaan. (Yksinkertaistamme juoksua, mutta pysytään siinä.)

Y on matka, jonka juoksija voi juosta ennen uupumistaan. Sitä me yritämme laskea. M, vakio, edustaa juoksijan juoksukykyä: jonkinlainen yhdistelmä hänen luontaisia lahjojaan ja hänen harjoitteluhistoriaansa. (Ajattele asiaa näin: Olympiavoittaja Usain Boltilla on korkea M; elokuvaohjaaja Woody Allenilla on matala M.)

Tällöin jäljelle jää viimeinen termi: X^B. Muuttuja X edustaa asiaa, johon meillä on vaikutusvaltaa: tässä tapauksessa harjoittelukilometrejämme. Jos B, eksponentti, on 0:n ja 1:n välillä, X:n ja Y:n – harjoituskilometrimäärän ja kestävyyden – välinen suhde muuttuu asteittain vähemmän verrannolliseksi. Vaikutuksen havaitsemiseksi tarvitaan vain muutama luku.

Asetetaan M arvoksi 1 yksinkertaisuuden vuoksi. Jos B=0,5 ja X=4, niin Y=2. Neljä mailia maantiellä antaa urheilijalle kyvyn juosta kaksi mailia vauhdilla.

Lisää X:ää 16:een, ja Y kasvaa vain 4:ään. Juoksijan on suoritettava nelinkertainen määrä maantiellä juostuja kilometrejä pelkän juoksukestävyytensä kaksinkertaistamiseksi.

Tässä on juju: Sekä juoksussa että painonnostossa, kun kasvatamme X:ää, eksponentti B todennäköisesti laskee! Harjoituskilometrimäärän nelinkertaistaminen 16 kilometristä 64 kilometriin ei todennäköisesti kaksinkertaista kestävyyttämme uudelleen. Siihen saattaisi tarvita 10-kertaisen kilometrimäärän lisäyksen. Lopulta harjoittelukilometrien ja kestävyyden suhde muuttuu lähes äärettömäksi.

Tunnemme tämän tilan tietysti vähenevänä tuottona: piste, jossa suurempi panos tuottaa asteittain vähemmän tulosta. Sen lisäksi, että harjoittelukilometrien ja kestävyyden välinen suhde ei ole aluksi lineaarinen, se myös muuttuu vähemmän lineaariseksi harjoittelun lisääntyessä.

Ja entä negatiiviset eksponentit?

Se muuttuu vielä mielenkiintoisemmaksi. Jos B=-0.5 ja X=4, niin Y=0.5. Neljän mailin matkalla saamme puoli mailia kestävyyttä. Jos X kasvatetaan 16:een, Y laskee 0,25:een. Enemmän harjoittelua, vähemmän kestävyyttä! Tämä on verrattavissa siihen, että joku harjoittelisi aivan liian paljon kilometrejä aivan liian aikaisin: harjoittelusta on vähemmän hyötyä, kun loukkaantumiset kasaantuvat.

Negatiivisten lukujen kohdalla mitä enemmän X kasvaa, sitä enemmän Y kutistuu. Tämä suhde tunnetaan käänteisenä potenssilakina. Esimerkiksi B=-2 tunnetaan käänteisenä neliölakina ja se on tärkeä yhtälö fysiikassa.

Painovoiman ja etäisyyden välinen suhde noudattaa käänteistä potenssilakia. G on gravitaatiovakio; se on Newtonin gravitaatiolain vakio, joka liittää painovoiman hiukkasten massoihin ja etäisyyksiin ja joka on yhtä suuri kuin:

6,67 × 10-11 N m2 kg-2

Mikä tahansa yhdestä pisteestä säteilevä voima – mukaan lukien lämpö, valon voimakkuus sekä magneettiset ja sähköiset voimat – noudattaa käänteisneliölainsäädäntöä. Tulipalosta 1 m:n etäisyydellä tuntuu 4 kertaa enemmän lämpöä kuin 2 m:n etäisyydellä ja niin edelleen.

Korkeamman asteen voimalait

Kun B on positiivinen kokonaisluku (nollaa suurempi kokonaisluku), voimalaeille on olemassa nimiä.

Kun B on yhtä suuri kuin 1, meillä on lineaarinen riippuvuussuhde, kuten keskustelimme edellä. Tämä tunnetaan myös ensimmäisen kertaluvun potenssilakina.

Tämän jälkeen asiat muuttuvat todella mielenkiintoisiksi.

Kun B on 2, meillä on toisen kertaluvun potenssilaki. Hyvä esimerkki tästä on liike-energia. Kineettinen energia = 1/2 mv^2

Kun B on 3, meillä on kolmannen asteen potenssilaki. Esimerkkinä tästä on tuulen pyörimisenergiaksi muuntama teho.

Varattu teho = ½ (ilman tiheys)( πr^2)(tuulen nopeus^3)(tehokerroin)

(Tässä on luonnollinen raja. Albert Betz totesi vuonna 1919, että tuuliturbiinit eivät voi muuntaa yli 59,3 % tuulen liike-energiasta mekaaniseksi energiaksi. Tätä lukua kutsutaan Betzin rajaksi ja se edustaa edellä mainittua tehokerrointa.)

Lämpösäteilyn laki on neljännen asteen potenssilaki. Laki johdettiin ensin itävaltalaisen fyysikon Josef Stefanin toimesta vuonna 1879 ja erikseen itävaltalaisen fyysikon Ludwig Boltzmannin toimesta, ja se toimii näin: yksikköalueelta sekunnissa säteilevä lämpöenergia on yhtä suuri kuin suhteellisuusvakio (Stefan-Boltzmannin vakio) kertaa absoluuttinen lämpötila neljännen potenssin verran.

On olemassa vain yksi potenssilaki, jonka eksponentti on muuttuva, ja sitä pidetään yhtenä maailmankaikkeuden voimakkaimmista voimista. Se on myös kaikkein väärinymmärretyin. Kutsumme sitä yhdistämiseksi. Kaava näyttää tältä:

Tulevaisuuden arvo = (Nykyarvo)(1+i)^n

joissa i on korkokanta ja n on vuosien lukumäärä.

Toisin kuin muissa yhtälöissä, X:n ja Y:n välinen suhde on potentiaalisesti rajaton. Niin kauan kuin B on positiivinen, Y kasvaa X:n kasvaessa.

Ei-kokonaislukuiset potenssilait (joissa B on murtoluku, kuten yllä olevassa juoksevassa esimerkissämme) ovat myös erittäin hyödyllisiä fyysikoille. Kaavat, joissa B=0,5 ovat yleisiä.

Kuvitellaan auto, joka ajaa tiettyä nopeutta. Sovelletaan muuta kuin kokonaislukua olevaa potenssilakia. V on auton nopeus, P on bensiini, joka poltetaan sekunnissa tämän nopeuden saavuttamiseksi, ja A on ilmanvastus. Jotta auto kulkisi kaksi kertaa nopeammin, sen on käytettävä 4 kertaa enemmän bensiiniä, ja jotta se kulkisi kolme kertaa nopeammin, sen on käytettävä 9 kertaa enemmän bensiiniä. Ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa, ja siksi nopeammat autot kuluttavat niin älyttömiä määriä bensiiniä. Saattaa tuntua loogiselta ajatella, että auto, joka kulkee 40 mailia tunnissa 50 mailia tunnissa, käyttäisi neljänneksen enemmän polttoainetta. Tämä on kuitenkin väärin, koska ilmanvastuksen ja nopeuden välinen suhde on itsessään potenssilaki.

Toinen esimerkki potenssilaista on neliön pinta-ala. Jos kahden yhdensuuntaisen sivun pituus kaksinkertaistuu, pinta-ala nelinkertaistuu. Tee sama 3D-kuutiolle, ja pinta-ala kasvaa kahdeksankertaiseksi. Sillä ei ole väliä, onko neliön pituus kasvanut 1cm:stä 2cm:iin vai 100m:stä 200m:iin; pinta-ala nelinkertaistuu silti. Me kaikki tunnemme toisen kertaluvun (tai neliön) potenssilait. Nimi tulee neliöistä, sillä pituuden ja pinta-alan välinen suhde kuvastaa sitä, miten toisen kertaluvun potenssilait muuttavat lukua. Kolmannen kertaluvun (tai kuution) potenssilait ovat saaneet samanlaisen nimen, koska niillä on suhde kuutioihin.

Potenssilakien käyttäminen elämässämme

Nyt kun olemme päässeet monimutkaisesta osasta läpi, katsokaamme, miten potenssilakeja esiintyy monilla tietämysaloilla. Useimpiin ammatteihin liittyy niiden ymmärtäminen, vaikka se ei ehkä olisikaan niin ilmiselvää.

The Power Behind Compounding

Korkokertoimen taustalla oleva voima

Korkokertoimen laskeminen on yksi tärkeimmistä mielenmalleistamme, ja sen ymmärtäminen on ehdottoman tärkeää sijoittamisessa, henkilökohtaisessa kehityksessä, oppimisessa ja muilla tärkeillä elämän osa-alueilla.”

Korkokorkokertoimen laskeminen taloustieteessä tapahtuu yhtälön avulla, jossa on nämä muuttujat: P on alkuperäinen rahasumma. P’ on tuloksena saatu rahasumma, r on vuotuinen korko, n on koronlaskutiheys ja t on ajan pituus. Yhtälön avulla voimme havainnollistaa korkokertymän voimaa.

Jos henkilö tallettaa 1000 dollaria pankkiin viideksi vuodeksi neljän prosentin neljännesvuosittaisella korolla, yhtälöstä tulee tämä:

Tulevaisuuden arvo = Nykyarvo * ((1 + neljännesvuosittainen korkokanta) ^ neljännesvuosikertojen lukumäärä)

Tämän kaavan avulla voidaan laskea, paljonko rahaa tilillä on viiden vuoden kuluttua. Vastaus on 2220,20 dollaria.

Korkokomponentti on potenssilaki, koska tilille jätetyn rahasumman ja tilille lopussa kertyneen rahamäärän välinen suhde on epälineaarinen.

Kirjassa A Random Walk Down Wall Street Burton Malkiel antaa esimerkin kahdesta veljeksestä, Williamista ja Jamesista. Aloittaen 20-vuotiaana ja lopettaen 40-vuotiaana William sijoittaa 4 000 dollaria vuodessa. James puolestaan sijoittaa saman summan vuodessa 40-65-vuotiaana. Kun William on 65-vuotias, hän on sijoittanut vähemmän rahaa kuin veljensä, mutta on antanut sen kerryttää korkoa 25 vuoden ajan. Kun molemmat veljekset jäävät eläkkeelle, Williamilla on 600 prosenttia enemmän rahaa kuin Jamesilla – ero on 2 miljoonaa dollaria. Yksi fiksuimmista taloudellisista valinnoista, joita voimme tehdä, on aloittaa säästäminen mahdollisimman varhain: valjastamalla voimasuhdelakeja kasvatamme eksponenttia mahdollisimman paljon.

Korkokertymä voi auttaa meitä saavuttamaan taloudellisen vapauden ja vaurauden ilman, että tarvitsemme suuria vuosituloja. Taloudellisen riippumattomuusliikkeen jäsenet (kuten bloggaaja Mr. Money Mustache) ovat eläviä esimerkkejä siitä, miten voimme soveltaa voimasääntöjä elämäämme.

Jopa 1800-luvulla Robert G. Ingersoll korosti korkokomponentin merkitystä:

Yksi dollari korkokomponenttikorkoa kahdellakymmenellä neljälläkymmenelläneljällä prosentilla sadan vuoden ajan tuottaisi valtionvelkaamme vastaavan summan. Korko syö yötä päivää, ja mitä enemmän se syö, sitä nälkäisemmäksi se kasvaa. Velkainen maanviljelijä, joka valvoo yöllä, voi, jos hän kuuntelee, kuulla sen nakertavan. Jos hän ei ole velkaa, hän voi kuulla maissinsa kasvavan. Päästä velat pois mahdollisimman pian. Olet elättänyt joutavaa ahneutta ja laiskaa taloutta jo tarpeeksi kauan.”

Velkaantuminen voi koskea muitakin aloja kuin taloutta – henkilökohtaista kehitystä, terveyttä, oppimista, ihmissuhteita ja paljon muuta. Kullakin alueella pieni panos voi johtaa suureen tulokseen, ja tulokset rakentuvat itsestään.

Nonlineaarinen kielenoppiminen

Kun opettelemme uutta kieltä, on aina hyvä aloittaa oppimalla noin sata käytetyintä sanaa.

Kaikkien tunnettujen kielten kohdalla pieni prosenttiosuus sanoista muodostaa suurimman osan käytöstä. Tämä tunnetaan Zipfin lakina ilmiön ensimmäisenä tunnistaneen George Kingsley Zipfin mukaan. Kielen käytetyimmän sanan osuus voi olla jopa 7 prosenttia kaikista käytetyistä sanoista, kun taas toiseksi käytetyintä sanaa käytetään puolet vähemmän ja niin edelleen. Vain 135 sanaa voi yhdessä muodostaa puolet kielestä (sellaisena kuin äidinkieliset puhujat sitä käyttävät).

Miksi Zipfin laki pätee, ei tiedetä, vaikka käsite on looginen. Monet kielet sisältävät suuren määrän erikoistermejä, joita tarvitaan harvoin (mukaan lukien juridiset tai anatomiset termit). Pieni muutos sanan frekvenssijärjestyksessä merkitsee valtavaa muutosta sen hyödyllisyydessä.

Zipfin lain ymmärtäminen on keskeinen osa nopeutettua kielenoppimista. Jokaisella uudella sanalla, jonka opimme sadan yleisimmän sanan joukosta, on valtava vaikutus kykyymme kommunikoida. Kun opimme harvinaisempia sanoja, tuotto vähenee. Jos jokainen kielen sana lueteltaisiin käyttötiheyden mukaisessa järjestyksessä, sana olisi sitä vähemmän käyttökelpoinen, mitä alempana luettelossa liikutaan.

Power Laws in Business, Explained by Peter Thiel

Peter Thiel, PayPalin perustaja (sekä varhainen sijoittaja Facebookiin ja Palantiriin), pitää voimanlakeja ratkaisevana käsitteenä, joka kaikkien liikemiesten on ymmärrettävä. Upeassa kirjassaan Zero to One Thiel kirjoittaa:

Erittäin voimakkain yksittäinen havaitsemani malli on se, että menestyvät ihmiset löytävät arvoa odottamattomista paikoista, ja he tekevät sen ajattelemalla liiketoimintaa kaavojen sijaan ensimmäisistä periaatteista käsin.

Ja:

Vuonna 1906 taloustieteilijä Vilfredo Pareto löysi sen, mistä tuli ”Pareto-periaate” eli 80-20-sääntö, kun hän huomasi, että 20 prosenttia ihmisistä omisti 80 prosenttia maasta Italiassa – ilmiö, joka oli hänen mielestään yhtä luonnollinen kuin se, että 20 prosenttia hänen puutarhansa herneistä tuotti 80 prosenttia herneistä. Tämä poikkeuksellisen jyrkkä kuvio, jossa muutamat harvat ylittävät radikaalisti kaikki kilpailijat, ympäröi meitä kaikkialla luonnollisessa ja sosiaalisessa maailmassa. Tuhoisimmat maanjäristykset ovat monta kertaa voimakkaampia kuin kaikki pienemmät maanjäristykset yhteensä. Suurimmat kaupungit jättävät varjoonsa kaikki pelkät kaupungit yhteensä. Ja monopoliyritykset saavat enemmän arvoa kuin miljoonat eriytymättömät kilpailijat. Mitä Einstein sitten sanoikin tai ei sanonutkaan, potenssilaki – joka on saanut nimensä siksi, että eksponenttiyhtälöt kuvaavat erittäin epätasaista jakaumaa – on maailmankaikkeuden laki. Se määrittelee ympäristömme niin täydellisesti, ettemme yleensä edes huomaa sitä.

… n riskipääomassa, jossa sijoittajat yrittävät hyötyä alkuvaiheen yritysten eksponentiaalisesta kasvusta, muutamat yritykset saavuttavat eksponentiaalisesti suuremman arvon kuin kaikki muut. …e emme elä normaalissa maailmassa, vaan elämme potenssilain vallitessa.

… Pääomasijoittamisen suurin salaisuus on se, että menestyvän rahaston paras sijoitus on yhtä suuri tai parempi kuin koko muu rahasto yhteensä.

Tästä seuraa kaksi hyvin outoa sääntöä pääomasijoittajille. Ensinnäkin sijoitetaan vain yrityksiin, joilla on potentiaalia palauttaa koko rahaston arvo. … Tämä johtaa sääntöön numero kaksi: koska sääntö numero yksi on niin rajoittava, muita sääntöjä ei voi olla.

…ife ei ole salkku: ei startup-yrityksen perustajalle eikä kenellekään yksilölle. Yrittäjä ei voi ”hajauttaa” itseään; ei voi pyörittää kymmeniä yrityksiä yhtä aikaa ja sitten toivoa, että jokin niistä toimii hyvin. Vähemmän ilmeistä mutta yhtä tärkeää on, että yksilö ei voi monipuolistaa omaa elämäänsä pitämällä valmiina kymmeniä yhtä mahdollisia uria.

Thiel opettaa Stanfordissa Startup-nimistä kurssia, jossa hän painottaa voimasuhdelakien ymmärtämisen arvoa. Kurssillaan hän jakaa runsaasti viisautta. Blake Mastersin muistiinpanoista tunnilta 7:

Harkitse prototyyppistä menestyvää riskirahastoa. Useat sijoitukset menevät nollaan tietyn ajan kuluessa. Ne tapahtuvat yleensä pikemminkin aikaisemmin kuin myöhemmin. Sijoitukset, jotka menestyvät, tekevät sen jonkinlaisella eksponentiaalisella käyrällä. Kun summa lasketaan salkun elinkaaren ajalta, saadaan J-käyrä. Varhaiset sijoitukset epäonnistuvat. Joudut maksamaan hallinnointipalkkioita. Mutta sitten tapahtuu eksponentiaalinen kasvu, ainakin teoriassa. Koska sijoitukset alkavat veden alla, suuri kysymys on, milloin pääsee vesirajan yläpuolelle. Monet rahastot eivät koskaan pääse sinne.

Vastaaksesi tuohon suureen kysymykseen sinun on kysyttävä toinen: miltä näyttää riskirahastojen tuottojen jakauma? Naiivi vastaus on vain asettaa yritykset paremmuusjärjestykseen parhaasta huonoimpaan sen mukaan, mikä on niiden tuotto moninkertaisena sijoitettuihin dollareihin nähden. Ihmisillä on tapana ryhmitellä sijoitukset kolmeen ryhmään. Huonot yritykset menevät nollaan. Keskinkertaiset tekevät ehkä 1x, joten et menetä paljon tai voitat paljon. Ja sitten loistavat yritykset tuottavat ehkä 3-10x.

Mutta tästä mallista puuttuu se keskeinen oivallus, että todelliset tuotot ovat uskomattoman vinoutuneita. Mitä paremmin pääomasijoittaja ymmärtää tämän vinoutuneen mallin, sitä parempi pääomasijoittaja. Huonot pääomasijoittajat ajattelevat yleensä, että katkoviiva on tasainen, eli että kaikki yritykset ovat samanarvoisia, ja jotkut vain epäonnistuvat, pyörivät tai kasvavat. Todellisuudessa saadaan potenssilakijakauma.

Thiel selittää, miten sijoittajat voivat soveltaa potenssilakien mentaalimallia (lisää Mastersin muistiinpanoista tunnilta 7):

…Kun otetaan huomioon suuri potenssilakijakauma, halutaan olla melko keskittyneitä. … Ei vain ole kovin montaa yritystä, joista voi olla riittävän vakuuttunut. Parempi malli on sijoittaa ehkä seitsemään tai kahdeksaan lupaavaan yritykseen, joista uskoo saavansa 10-kertaisen tuoton. …

Vaikka eksponentiaalinen ajattelu juontaa juurensa yläasteen matematiikasta, se on vaikeaa. Elämme maailmassa, jossa emme yleensä koe mitään eksponentiaalisesti. Yleinen elämänkokemuksemme on melko lineaarinen. Aliarvioimme suuresti eksponentiaalisia asioita.

Hän varoittaa myös liiallisesta tukeutumisesta potenssilakeihin strategiana (väite, joka on syytä pitää mielessä kaikkien mentaalimallien osalta). Mastersin muistiinpanoista:

Ei pidä suhtautua mekaanisesti tähän heuristiikkaan tai pitää sitä jonkinlaisena muuttumattomana sijoitusstrategiana. Mutta se itse asiassa tarkistaa aika hyvin, joten ainakin se pakottaa ajattelemaan potenssilakijakaumaa.

Eksponenttien ja potenssilakijakaumien ymmärtäminen ei ole vain VC:n ymmärtämistä. On myös tärkeitä henkilökohtaisia sovelluksia. Monet asiat, kuten keskeiset elämänpäätökset tai yritysten perustaminen, johtavat myös samanlaisiin jakaumiin.

Thiel selittää sitten, miksi perustajien tulisi keskittyä yhteen keskeiseen tulovirtaan sen sijaan, että yrittäisivät rakentaa useita samanarvoisia:

Jopa yksittäisen yrityksen sisällä on luultavasti jonkinlainen potenssilaki siitä, mikä sitä ajaa. On huolestuttavaa, jos startup-yritys vaatii, että se aikoo tehdä rahaa monella eri tavalla. Tulojen voimalain mukainen jakauma kertoo, että yksi tulolähde dominoi kaikkea muuta.

Jos olet esimerkiksi yrittäjä, joka avaa kahvilan, sinulla on monia tapoja tehdä rahaa. Voit myydä kahvia, kakkuja, tauluja, kauppatavaraa ja paljon muuta. Mutta jokainen näistä asioista ei edistä menestystäsi samalla tavalla. Löytämisprosessissa on arvoa, mutta kun olet löytänyt tärkeimmän muuttujan, sinun kannattaa käyttää enemmän aikaa siihen ja vähemmän muihin. Tämän muuttujan löytämisen tärkeyttä ei voi liioitella.

Hän myöntää myös, että voimasäännöt ovat yksi sijoitusmenestyksen suurista salaisuuksista. Mastersin muistiinpanoista tunnilta 11:

Yhtäällä tasolla kilpailunvastaisuus, voimalait ja jakelusalaisuudet ovat kaikki luontosalaisuuksia. Mutta ne ovat myös ihmisten kätkemiä salaisuuksia. Se on ratkaisevan tärkeää muistaa. Oletetaan, että teet kokeen laboratoriossa. Yrität selvittää luonnon salaisuutta. Mutta joka yö joku toinen henkilö tulee laboratorioon ja sotkee tuloksiasi. Et ymmärrä, mitä on tekeillä, jos rajoitat ajattelusi asioiden luontopuolelle. Ei riitä, että löydät mielenkiintoisen kokeen ja yrität tehdä sen. On ymmärrettävä myös inhimillistä puolta.

… Tiedämme, että voimalain salaisuuden mukaan yritykset eivät jakaudu tasaisesti. Jakauma on yleensä bimodaalinen; on joitakin loistavia yrityksiä, ja sitten on paljon sellaisia, jotka eivät toimi lainkaan. Tämän ymmärtäminen ei kuitenkaan riitä. On suuri ero sen välillä, ymmärtääkö voimalain salaisuuden teoriassa vai pystyykö soveltamaan sitä käytännössä.

Kaikkien mentaalimallien avain on se, että tietää faktat ja pystyy käyttämään käsitettä. Kuten George Box sanoi, ”kaikki mallit ovat vääriä, mutta jotkut ovat hyödyllisiä”. Kun olemme ymmärtäneet perusteet, paras seuraava askel on alkaa miettiä, miten soveltaa niitä.

Metafora laboratoriotuloksia sabotoivasta näkymättömästä henkilöstä on erinomainen vertauskuva siitä, miten kognitiiviset ennakkoluulot ja oikopolut hämärtävät arvostelukykyämme.

Luonnonvoiman lait

Kuka tahansa, joka on pitänyt paljon lemmikkieläimiä, on varmaan huomannut eläimen koon ja sen eliniän välisen yhteyden. Pienet eläimet, kuten hiiret ja hamsterit, elävät yleensä vuoden tai kaksi. Suuremmat eläimet, kuten koirat ja kissat, voivat elää 10-20 vuotta tai harvoissa tapauksissa jopa kauemmin. Vielä suuremmassa mittakaavassa jotkut valaat voivat elää jopa 200 vuotta. Kyse on voimalaeista.

Biologit ovat löytäneet selviä yhteyksiä eläimen koon ja aineenvaihdunnan välillä. Kleiberin laki (Max Kleiberin tunnistama) sanoo, että eläimen aineenvaihdunta kiihtyy kolme neljäsosaa eläimen painon (massan) potenssista. Jos keskimääräinen kani (2 kg) painaa sata kertaa enemmän kuin keskimääräinen hiiri (20 g), kanin aineenvaihdunta on 32-kertainen hiireen verrattuna. Toisin sanoen kanin rakenne on tehokkaampi. Kaikki on kiinni niiden massan taustalla olevasta geometriasta.

Tämä johtaa meidät toiseen biologiseen potenssilakiin: Pienemmät eläimet tarvitsevat enemmän energiaa grammaa ruumiinpainoa kohti, mikä tarkoittaa, että hiiret syövät päivittäin noin puolet ruumiinpainostaan tiivistä ruokaa. Syynä on se, että massaprosentuaalisesti suuremmilla eläimillä on enemmän rakennetta (luita jne.) ja vähemmän varantoja (rasvavarastoja).

Tutkimukset ovat havainnollistaneet, miten voimalakeja sovelletaan eläinten verenkiertoon. Pääteyksiköt, joiden kautta happi, vesi ja ravintoaineet kulkeutuvat verenkierrosta soluihin, ovat kaikissa eläimissä samankokoisia. Vain määrä eläintä kohti vaihtelee. Näiden yksiköiden kokonaispinta-alan ja eläimen koon välinen suhde on kolmannen kertaluvun potenssilaki. Matkan, jonka veri kulkee päästäkseen soluihin, ja veren todellinen tilavuus ovat myös potenssilakien alaisia.

Vähenevän tuoton laki

Kuten olemme nähneet, pieni muutos yhdellä alueella voi johtaa valtavaan muutokseen toisella alueella. Kuitenkin tietyn pisteen jälkeen vähenevät tuotot alkavat ja enemmän on huonompi. Tunnin ylimääräinen työ päivässä saattaa merkitä sitä, että saadaan enemmän aikaan, kun taas kolmen lisätunnin työskentely johtaa todennäköisesti siihen, että uupumuksen vuoksi saadaan vähemmän aikaan. Siirtyminen istumatyöstä juoksemiseen kahtena päivänä viikossa voi parantaa terveyttä huomattavasti, mutta siirtyminen seitsemään päivään viikossa aiheuttaa vammoja. Liiallinen innokkuus voi muuttaa positiivisen eksponentin negatiiviseksi. Kiireisessä ravintolassa ylimääräisen keittiömestarin palkkaaminen merkitsee sitä, että enemmän ihmisiä voidaan palvella, mutta kahden uuden keittiömestarin palkkaaminen saattaa pilata sananlaskun liemen.

Periaatteessa aliarvostetuin vähenevä tuotto, jonka väärälle puolelle emme koskaan halua päätyä, on rahan ja onnellisuuden välinen tuotto.

Kirjassaan David and Goliath (Daavidin ja Goljatin taistelukenttää varten) Malcolm Gladwell käsittelee sitä, miten vähenevät tuotot liittyvät perheiden tuloihin. Useimmat ihmiset olettavat, että mitä enemmän rahaa he tienaavat, sitä onnellisempia he ja heidän perheensä ovat. Tämä on totta – tiettyyn pisteeseen asti. Liian pienet tulot perustarpeiden tyydyttämiseen tekevät ihmisistä onnettomia ja johtavat paljon useampiin fyysisiin ja psyykkisiin terveysongelmiin. Henkilö, joka siirtyy 30 000 dollarin vuosituloista 40 000 dollarin vuosituloihin, kokee todennäköisesti dramaattisen onnellisuuden kasvun. Sen sijaan siirtyminen 100 000 dollarista 110 000 dollariin johtaa vähäpätöiseen muutokseen hyvinvoinnissa.

Gladwell kirjoittaa:

Onnellisuutta tutkivat tutkijat viittaavat siihen, että rahan lisääntyminen lakkaa tekemästä ihmisiä onnellisemmiksi noin seitsemänkymmentäviisituhannen dollarin vuosituloilla. Sen jälkeen alkaa se, mitä taloustieteilijät kutsuvat ”väheneviksi rajatuotoiksi”. Jos perheesi tienaa seitsemänkymmentäviisi tuhatta ja naapurisi sata tuhatta, se ylimääräinen kaksikymmentäviisi tuhatta vuodessa tarkoittaa, että naapurisi voi ajaa hienommalla autolla ja käydä ulkona syömässä hieman useammin. Mutta se ei tee naapuristasi onnellisempaa kuin sinä tai paremmin varustautunutta tekemään niitä tuhansia pieniä ja suuria asioita, jotka tekevät siitä hyvän vanhemman.”