Valkoinen kohina | Li Linguas

Valkoisen kohinan vektoriEdit

Satunnaisvektorin (eli osittain epämääräisen prosessin, joka tuottaa reaalilukuvektoreita) sanotaan olevan valkoisen kohinan vektori tai valkoinen satunnaisvektori, jos sen kaikilla komponenteilla on todennäköisyysjakauma, jolla on nollakeskiarvo ja äärellinen varianssi, ja jos ne ovat tilastollisesti riippumattomia eli niiden yhteisen todennäköisyysjakauman on oltava yksittäisten komponenttien jakaumien tulo.

Kahden muuttujan tilastollisen riippumattomuuden välttämätön (mutta yleensä ei riittävä) ehto on, että ne ovat tilastollisesti korreloimattomia; eli niiden kovarianssi on nolla. Siksi n-alkioisen valkoisen kohinavektorin w komponenttien kovarianssimatriisin R on oltava n x n -diagonaalimatriisi, jossa jokainen diagonaalielementti Rii on komponentin wi varianssi; ja korrelaatiomatriisin on oltava n x n -identtisyysmatriisi.

Jos sen lisäksi, että jokainen muuttuja w:ssä on riippumaton, jokaisella w:n muuttujalla on myös normaalijakauma, jolla on nollakeskiarvo ja samanlainen varianssi σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

, w:n sanotaan olevan Gaussin valkoisen kohinan vektori. Tällöin w:n yhteisjakauma on monimuuttujainen normaalijakauma; muuttujien välinen riippumattomuus merkitsee tällöin, että jakauma on pallosymmetrinen n-ulotteisessa avaruudessa. Näin ollen mikä tahansa vektorin ortogonaalinen muunnos johtaa Gaussin valkoiseen satunnaisvektoriin. Erityisesti useimpien diskreettien Fourier-muunnosten, kuten FFT:n ja Hartleyn, yhteydessä myös w:n muunnos W on gaussilainen valkoinen kohinavektori; toisin sanoen w:n n Fourier-kerrointa ovat riippumattomia gaussilaisia muuttujia, joilla on nollakeskiarvo ja sama varianssi σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

Satunnaisvektorin w tehospektri P voidaan määritellä sen Fourier-muunnoksen W kunkin kertoimen neliömoduulin odotusarvona, eli Pi = E(|Wi|2). Tämän määritelmän mukaan gaussilaisella valkoisen kohinan vektorilla on täysin tasainen tehospektri, jossa Pi = σ2 kaikille i:lle.

Jos w on valkoinen satunnaisvektori, mutta ei gaussilainen, sen Fourier-kertoimet Wi eivät ole täysin riippumattomia toisistaan; tosin suurella n:llä ja yleisillä todennäköisyysjakaumilla riippuvuudet ovat hyvin hienovaraisia, ja niiden pareittaisten korrelaatioiden voidaan olettaa olevan nolla.

Valkoisen kohinan määritelmässä käytetään usein heikompaa ehtoa ”tilastollisesti korreloimaton” ”tilastollisesti riippumattoman” sijasta. Jotkin valkoisen kohinan yleisesti odotetut ominaisuudet (kuten tasainen tehospektri) eivät kuitenkaan välttämättä päde tässä heikommassa versiossa. Tällä oletuksella tiukempaa versiota voidaan kutsua nimenomaan riippumattomaksi valkoisen kohinan vektoriksi.:s.60 Muut kirjoittajat käyttävät sen sijaan vahvasti valkoista ja heikosti valkoista.

Esimerkki satunnaisvektorista, joka on ”gaussilaista valkoista kohinaa” heikossa, mutta ei vahvassa merkityksessä, on x=, jossa x1 on normaali satunnaismuuttuja, jolla on nollakeskiarvo, ja x2 on yhtä suurella todennäköisyydellä yhtä suuri kuin +x1 tai yhtä suuri kuin -x1. Nämä kaksi muuttujaa ovat korreloimattomia ja erikseen normaalisti jakautuneita, mutta ne eivät ole yhdessä normaalisti jakautuneita eivätkä riippumattomia. Jos x:ää käännetään 45 astetta, sen kaksi komponenttia ovat edelleen korreloimattomia, mutta niiden jakauma ei ole enää normaali.

Jossain tilanteissa määritelmää voidaan höllentää sallimalla, että valkoisen satunnaisvektorin w jokaisella komponentilla on nollasta poikkeava odotusarvo μ \displaystyle \mu }.

. Erityisesti kuvankäsittelyssä, jossa näytteet on tyypillisesti rajoitettu positiivisiin arvoihin, otetaan usein μ {\displaystyle \mu }

olevan puolet näytteen maksimiarvosta. Tällöin myös nollataajuuskomponenttia vastaavalla Fourier-kertoimella W0 (lähinnä wi:n keskiarvo) on nollasta poikkeava odotusarvo μ n {\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}

; ja tehospektri P on tasainen vain nollasta poikkeavilla taajuuksilla.

Diskreettiaikainen valkoinen kohinaEdit

Diskreettiaikainen stokastinen prosessi W {\\displaystyle W}

on satunnaisvektoreiden, joilla on äärellinen määrä komponentteja, yleistys äärettömän moneen komponenttiin. Diskreettiaikainen stokastinen prosessi W {\displaystyle W}

kutsutaan valkoiseksi kohinaksi, jos sen keskiarvo ei riipu ajasta n {\displaystyle n}

ja on yhtä suuri kuin nolla, eli E ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} ]=0}

ja jos autokorrelaatiofunktio R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=\operatorname {E} W]}

riippuu vain n:stä {\displaystyle n}

mutta ei k:sta {\displaystyle k}

ja sillä on nollasta poikkeava arvo vain tapauksessa n = 0 {\displaystyle n=0}

, eli R W = σ 2 δ {\displaystyle R_{W}=\sigma ^{2}\delta }

Jatkuva-aikainen valkoinen kohinaEdit

Voidaksemme määritellä ”valkoisen kohinan” käsitteen jatkuva-aikaisten signaalien teoriassa, on korvattava ”satunnaisvektorin” käsite jatkuva-aikaisella satunnaissignaalilla; eli satunnaisprosessilla, joka synnyttää funktion w {\displaystyle w}

reaaliarvoisesta parametrista t {\displaystyle t}

Tällaisen prosessin sanotaan olevan valkoista kohinaa vahvimmassa merkityksessä, jos arvo w ( t ) {\displaystyle w(t)}

millä tahansa hetkellä t {\displaystyle t}

on satunnaismuuttuja, joka on tilastollisesti riippumaton koko historiastaan ennen t {\displaystyle t}

. Heikompi määritelmä edellyttää riippumattomuutta vain arvojen w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})} välillä.

ja w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})} välillä.

jokaisella parilla eri ajankohdilla t 1 {\displaystyle t_{1}}

ja t 2 {\displaystyle t_{2}}

. Vielä heikompi määritelmä edellyttää vain, että tällaiset parit w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

ja w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

ovat korreloimattomia. Kuten diskreetissä tapauksessa, jotkut kirjoittajat käyttävät ”valkoisen kohinan” heikompaa määritelmää ja viittaavat jompaankumpaan vahvempaan määritelmään määritteellä independent. Toiset käyttävät heikosti valkoista ja vahvasti valkoista erottaakseen ne toisistaan.

Tarkka määritelmä näille käsitteille ei kuitenkaan ole triviaali, koska jotkin suureet, jotka äärellisessä diskreetissä tapauksessa ovat äärellisiä summia, on korvattava integraaleilla, jotka eivät välttämättä konvergoi. Itse asiassa signaalin w kaikkien mahdollisten tapausten joukko {\displaystyle w}

ei ole enää äärellinen avaruus R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}}

, vaan ääretönulotteinen funktioavaruus. Lisäksi minkä tahansa määritelmän mukaan valkoisen kohinan signaali w {\displaystyle w}

täytyisi olla olennaisesti epäjatkuva jokaisessa pisteessä; siksi yksinkertaisimmatkin operaatiot w:lle {\displaystyle w}

, kuten integrointi äärellisellä aikavälillä, vaativat kehittyneitä matemaattisia koneita.

Jotkut kirjoittajat vaativat jokaista arvoa w ( t ) {\displaystyle w(t)}

olevan reaaliarvoinen satunnaismuuttuja, jolla on odotusarvo μ {\displaystyle \mu } {\displaystyle \mu }

ja jokin äärellinen varianssi σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

. Tällöin kovarianssi E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

kahden ajankohdan t 1 {\displaystyle t_{1}} arvojen välillä.

ja t 2 {\displaystyle t_{2}} välillä.

on hyvin määritelty: se on nolla, jos ajankohdat ovat erilliset, ja σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

jos ne ovat yhtä suuret. Tämän määritelmän mukaan integraali W = ∫ a a + r w ( t ) d t {\displaystyle W_{}=\int _{a}^{a+r}w(t)\, dt}

millä tahansa positiivisen leveyden r omaavalla välillä {\displaystyle r}

olisi yksinkertaisesti leveys kertaa odotusarvo: r μ {\displaystyle r\mu }

. Tämä ominaisuus tekisi käsitteen riittämättömäksi fysikaalisten ”valkoisen kohinan” signaalien mallina.

Tämän vuoksi useimmat kirjoittajat määrittelevät signaalin w {\displaystyle w}

epäsuorasti määrittelemällä nollasta poikkeavat arvot integraaleille w ( t ) {\displaystyle w(t)}

ja | w ( t ) | 2 {\displaystyle |w(t)|^{2}}

millä tahansa aikavälillä {\displaystyle } {\displaystyle }

, sen leveyden r funktiona {\displaystyle r}

. Tässä lähestymistavassa arvo w ( t ) {\displaystyle w(t)}

yksittäisenä ajankohtana ei voida määritellä reaaliarvoiseksi satunnaismuuttujaksi. Myös kovarianssi E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

muuttuu äärettömäksi, kun t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}}}