Symbolinen logiikka
Michael Genesereth
Computer Science Department
Stanford University
Logiikan opettaminen pelkkää englanninkielistä opetusta käyttäen on mahdollista, mutta se on ongelmallista. Luonnollisen kielen lauseet voivat olla monimutkaisia; ne voivat olla monitulkintaisia; ja lauseen merkityksen ymmärtämättä jättäminen voi johtaa virheisiin päättelyssä.
Jopa hyvin yksinkertaiset lauseet voivat olla hankalia. Tässä näemme kaksi kieliopillisesti laillista lausetta. Ne ovat viimeistä sanaa lukuun ottamatta täysin samanlaisia, mutta niiden rakenne on täysin erilainen. Ensimmäisessä pääverbi on kukkii, kun taas toisessa kukkii on substantiivi ja pääverbi on upposi.
Kirsikan kukkii keväällä.
Kirsikan kukkii keväällä upposi.
Toisena esimerkkinä kieliopillisesta monimutkaisuudesta tarkastellaan seuraavaa otetta, joka on otettu Michiganin yliopiston vuokrasopimuksesta. Tässä tapauksessa lause on niin pitkä ja kieliopillinen rakenne niin monimutkainen, että ihmiset joutuvat usein lukemaan sen useaan kertaan ymmärtääkseen tarkalleen, mitä siinä sanotaan.
Yliopisto voi irtisanoa tämän vuokrasopimuksen, kun vuokralainen, joka on tehnyt hakemuksen ja allekirjoittanut tämän vuokrasopimuksen ennen ilmoittautumista, ei ole oikeutettu ilmoittautumaan yliopistoon tai jättää ilmoittautumatta yliopistoon tai poistuu yliopistosta milloin tahansa ennen tämän vuokrasopimuksen päättymistä tai tämän vuokrasopimuksen minkä tahansa määräyksen rikkomisen tai asukastaloja koskevan yliopiston määräyksen rikkomisen vuoksi tai terveydellisistä syistä antamalla opiskelijalle kirjallisen ilmoituksen tästä irtisanomisesta 30 vuorokautta ennen irtisanomisen tehokasta voimaantuloajankohtaa, paitsi jos henki, terveys tai omaisuus vaarantuu, vuokralainen myy tai ostaa valvottuja aineita liittovaltion, osavaltion tai paikallisen lainsäädännön vastaisesti tai vuokralainen ei ole enää kirjoilla opiskelijana tai vuokralainen käyttää tai pitää hallussaan ampuma-aseita, räjähteitä, syttyviä nesteitä, ilotulitteita, ilotulitteita tai muita vaarallisia aseita rakennuksessa tai tekee vääränlaisen hälytyksen; näissä tapauksissa riittää korkeintaan 24 tunnin irtisanomisaika.
Esimerkkinä monitulkintaisuudesta: Oletetaan, että kirjoitan lauseen Huoneessa on tyttö, jolla on kaukoputki. Katso kuvasta 6 tämän lauseen kaksi mahdollista merkitystä. Sanonko, että huoneessa, jossa on kaukoputki, on tyttö? Vai sanonko, että huoneessa on tyttö ja hänellä on kaukoputki kädessään?
Kuvio 6 – Huoneessa on tyttö, jolla on kaukoputki.
Tällaiset monimutkaisuudet ja epäselvyydet voivat joskus olla humoristisia, jos ne johtavat tulkintoihin, joita tekijä ei ole tarkoittanut. Katso alla olevista esimerkeistä joitakin surullisen kuuluisia sanomalehtiotsikoita, joilla on useita tulkintoja. Virallisen kielen käyttäminen eliminoi tällaiset tahattomat moniselitteisyydet (ja hyvässä ja pahassa tapauksessa välttää myös tahattoman huumorin).
|
Crowds Rushing to See Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980
|
||||
|
||||
|
||||
|
Mikroaaltouunissa kypsennetty friteerattu kana voittaa matkan The Oregonian, Portland, 1981
|
Kuvituksena virheistä, joita syntyy luonnollisen kielen lauseiden päättelyssä, tarkastellaan seuraavia esimerkkejä. Ensimmäisessä käytämme paremman relaation transitiivisuutta johtamaan samppanjan ja oluen suhteellisesta laadusta ja oluen ja soodan suhteellisesta laadusta johtopäätöksen samppanjan ja oluen suhteellisesta laadusta tai oluen ja soodan suhteellisesta laadusta samppanjan ja soodan suhteellisesta laadusta. Tähän asti kaikki hyvin.
Samppanja on parempaa kuin olut.
Oluet ovat parempia kuin soodat.
Siitä seuraa, että samppanja on parempaa kuin sooda.
Katsotaanpa nyt, mitä tapahtuu, kun sovellamme samaa transitiivisuussääntöä alla olevassa kuvassa esitetyssä tapauksessa. Argumentin muoto on sama kuin edellä, mutta johtopäätös on hieman vähemmän uskottava. Ongelma tässä tapauksessa on se, että nothing-sanan käyttö tässä on syntaktisesti samanlainen kuin beer-sanan käyttö edellisessä esimerkissä, mutta englanniksi se tarkoittaa jotain aivan muuta.
Paha seksi on parempi kuin ei mitään.
Mikään ei ole parempaa kuin hyvä seksi.
Siten huono seksi on parempaa kuin hyvä seksi.
Symbolinen logiikka poistaa nämä vaikeudet käyttämällä muodollista kieltä tiedon koodaamiseen. Kun otetaan huomioon tämän formaalin kielen syntaksi ja semantiikka, voimme antaa tarkan määritelmän loogisen johtopäätöksen käsitteelle. Lisäksi voimme laatia täsmälliset päättelysäännöt, jotka tuottavat kaikki ja vain loogiset johtopäätökset.
Tältä osin formaalilogiikan ja lukion algebran menetelmien välillä on vahva analogia. Tämän analogian havainnollistamiseksi tarkastellaan seuraavaa algebraongelmaa.
Xavier on kolme kertaa niin vanha kuin Yolanda. Xavierin ikä ja Yolandan ikä ovat yhteensä kaksitoista. Kuinka vanhoja Xavier ja Yolanda ovat?
Tyypillisesti ensimmäinen askel tällaisen ongelman ratkaisemisessa on ilmaista tiedot yhtälöiden muodossa. Jos annamme x:n edustaa Xavierin ikää ja y:n edustaa Yolandan ikää, voimme vangita ongelman olennaiset tiedot alla esitetyllä tavalla.
x – 3y = 0
x + y = 12
Algebran menetelmiä käyttäen voimme sitten manipuloida näitä lausekkeita ratkaistaksemme ongelman. Ensin vähennetään toinen yhtälö ensimmäisestä.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
Seuraavaksi jaetaan tuloksena saadun yhtälön kumpikin puoli -4:llä, jotta saadaan y:n arvo. Sitten korvaamalla takaisin yhteen edellisistä yhtälöistä saamme arvon x:lle.
x = 9
y = 3
Katsotaan nyt seuraavaa logiikkaongelmaa.
Jos Mary rakastaa Patia, niin Mary rakastaa Quincyä. Jos on maanantai ja sataa, niin Mary rakastaa Patia tai Quincyä. Jos on maanantai ja sataa, rakastaako Mary Quincyä?
Kuten algebran ongelman kohdalla, ensimmäinen askel on formalisointi. Olkoon p edustaa mahdollisuutta, että Mary rakastaa Patia; olkoon q edustaa mahdollisuutta, että Mary rakastaa Quincyä; olkoon m edustaa mahdollisuutta, että on maanantai; ja olkoon r edustaa mahdollisuutta, että sataa.
Näillä lyhenteillä voimme esittää tämän ongelman olennaisen tiedon seuraavilla loogisilla lauseilla. Ensimmäinen sanoo, että p implikoi q:n, eli jos Mary rakastaa Patia, niin Mary rakastaa Quincyä. Toinen sanoo, että m ja r implikoi p tai q, eli jos on maanantai ja sataa, niin Mary rakastaa Patia tai Mary rakastaa Quincyä.
| p | ⇒ | q | |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Kuten myös algebrassa, Formaalilogiikka määrittelee tiettyjä operaatioita, joita voimme käyttää lausekkeiden manipulointiin. Alla esitetty operaatio on muunnelma siitä, mitä kutsutaan propositionaaliseksi resoluutioksi. Rivin yläpuolella olevat lausekkeet ovat säännön premissejä, ja alla oleva lauseke on johtopäätös.
| p1 ∧ … ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql | |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ …. ∨ sn | |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn | |
Tästä operaatiosta on kaksi kehittelyä. (1) Jos yhden lauseen vasemmalla puolella oleva lause on sama kuin toisen lauseen oikealla puolella oleva lause, on sallittua pudottaa kaksi symbolia pois, sillä varauksella, että vain yksi tällainen pari voidaan pudottaa pois. (2) Jos jokin vakio toistuu saman lauseen samalla puolella, kaikki esiintymät yhtä lukuun ottamatta voidaan poistaa.
Voidaan käyttää tätä operaatiota ratkaistaksemme Marian rakkauselämää koskevan ongelman. Kun tarkastelemme edellä olevia kahta premissiä, huomaamme, että p esiintyy toisen lauseen vasemmalla puolella ja toisen oikealla puolella. Näin ollen voimme kumota p:n ja siten johtaa johtopäätöksen, että jos on maanantai ja sataa, niin Mary rakastaa Quincyä tai Mary rakastaa Quincyä.
| p | ⇒ | q | |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q | |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q | |
Pudottamalla toistuvan symbolin oikealle puolelle, päädymme siihen johtopäätökseen, että jos on maanantai ja sataa, niin Mary rakastaa Quincyä.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Tämä esimerkki on sikäli mielenkiintoinen, että se esittelee muodollista kieltämme loogisen tiedon koodaamiseksi. Kuten algebrassa, käytämme symboleja kuvaamaan relevantteja näkökohtia kyseisestä maailmasta, ja käytämme operaattoreita näiden symbolien yhdistämiseen ilmaistaksemme tietoa niistä asioista, joita nuo symbolit edustavat.
Esimerkki esittelee myös yhden tärkeimmistä Formaalilogiikan operaatioista, nimittäin resoluution (tässä tapauksessa resoluution rajoitetun muodon). Resoluutiolla on se ominaisuus, että se on täydellinen eräälle tärkeälle logiikan ongelmien luokalle, ts. se on ainoa operaatio, jota tarvitaan minkä tahansa luokan ongelman ratkaisemiseen.