Negatiivisten lukujen logaritmeja ei ole määritelty reaaliluvuissa samalla tavalla kuin negatiivisten lukujen neliöjuuria ei ole määritelty reaaliluvuissa. Jos sinun odotetaan löytävän negatiivisen luvun logaritmin, vastaus ”määrittelemätön” riittää useimmissa tapauksissa.
Ensimmäinen on mahdollista arvioida, mutta vastaus on kompleksiluku. (luku muodossa #a + bi#, jossa #i = sqrt(-1)#)
Jos kompleksiluvut ovat sinulle tuttuja ja tunnet olosi mukavaksi niiden kanssa työskennellessäsi, niin lue eteenpäin.
Aloitetaan ensin yleisestä tapauksesta:
#log_b (-x) = ?#
Käytämme perustanvaihtosääntöä ja muunnamme luonnollisiksi logaritmeiksi, jotta asiat olisivat myöhemmin helpompia:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Huomaa, että #ln(-x)# on sama asia kuin #ln(-1 * x)#. Voimme hyödyntää logaritmien yhteenlaskuominaisuutta ja erottaa tämän osan kahdeksi erilliseksi logaritmiksi:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Nyt ainoa ongelma on selvittää, mikä on #ln(-1)#. Sen arvioiminen saattaa aluksi näyttää mahdottomalta, mutta on olemassa melko kuuluisa yhtälö, joka tunnetaan nimellä Eulerin identiteetti ja joka voi auttaa meitä.
Eulerin identiteetti sanoo:
#e^(ipi) = -1#
Tämä tulos tulee sinin ja kosinin potenssisarjojen laajennuksista. (En selitä sitä liian syvällisesti, mutta jos olet kiinnostunut, täällä on mukava sivu, jossa selitetään hieman enemmän)
Nyt otetaan yksinkertaisesti Eulerin identiteetin molempien puolien luonnollinen logi:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Yleistettynä:
#ipi = ln(-1)#
Nyt kun tiedämme, mikä on #ln(-1)#, voimme korvata sen takaisin yhtälöömme:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Nyt sinulla on kaava negatiivisten lukujen logien löytämiseksi. Jos siis haluamme arvioida jotain sellaista kuin #log_2 10#, voimme yksinkertaisesti liittää muutaman arvon:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approx 3.3219 + 4.5324i#