Mikä on maailman suurin luku?

Jos olet joskus matematiikan tunnilla kysynyt, mikä on suurin luku, on melko todennäköistä, että joku älykäs kipinä on keksinyt vastauksen tyyliin: ”Se on helppoa! Se on tietysti ääretön!”

Ainut ongelma äärettömyydessä on se, että se ei ole luku sinänsä, kuten alla oleva kahden kirkkaan kipinän välinen keskustelu osoittaa.

Kirkas kipinä yksi: ”

Kirkas kipinä kaksi: ”Minulla on sinulle vielä suurempi luku – ääretön plus yksi!”

Kirkas kipinä yksi taas: ”

Keskustelu jatkuu näin loputtomalta tuntuvan ajan, kunnes kumpikaan kirkkaista kipinöistä ei ole päässyt maailman suurimpaan lukuun.

Ennen pitkää nämä kaksi kirkasta kipinää ovat tajunneet, että ääretön ei oikeastaan olekaan luku, vaan enemmänkin käsite. Se, mitä kukaan ei ole vielä kertonut kahdelle kirkkaalle kipinälle, on se järkyttävä ajatus, että äärettömyydellä on eri kokoja! Miten siis lasketaan suurin luku?

Laskulukujen äärettömyys

Yksinkertaisin tapa luoda äärettömän kokoinen lukujoukko on laskea ylöspäin kokonaislukuina. Tätä lukujoukkoa kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi, ja se on luonnollisesti äärettömän kokoinen, koska voimme jatkaa laskemista loputtomiin. Symbolia käytetään tämän joukon merkitsemiseen, ja se tarkoittaa ”luonnollisia lukuja”.

Katsotaan nyt erilaista lukujoukkoa ja kutsutaan tätä joukkoa (oma merkintämme):

Joukko on myös kooltaan äärettömän suuri, mutta se näyttäisi pitävän sisällään yhden luvun verran vähemmän lukuja kuin lukujoukko . Ovatko ne samankokoisia?

Voidaan osoittaa, että ja ovat itse asiassa samankokoisia osoittamalla, että :n ja :n alkioiden välillä on yksi yhteen – vastaavuus.

…

Tähän asti olisimme sanoneet, että :n koko on yksinkertaisesti ääretön, joka kirjoitetaan kuin luku kahdeksan kyljellään:.

Olemme kuitenkin kohta huomaamassa, että äärettömyydellä on eri kokoja, ja niinpä merkitsemme nyt :n kooksi , joka lausutaan kuin ’alef nolla’. on äärettömyyden pienin koko, ja myös joukollamme on koko .

Muut joukot, joilla on koko

On monia muita lukujoukkoja, joilla on ääretön koko . Näitä ovat esimerkiksi positiivisten parillisten kokonaislukujen joukko ja myös niin sanottu rationaalilukujen joukko. Rationaaliluvut ovat kaikki ne luvut, jotka voidaan kirjoittaa murtolukuina. Jos lukujoukon koko on , sen sanotaan olevan laskettavissa.

Voidaan kirjoittaa kaikki mahdolliset murtoluvut alla olevan kaltaiseen taulukkoon. Vastaavat murtoluvut saattavat esiintyä useammin kuin kerran, esimerkiksi , mutta voimme kuitenkin helposti poistaa taulukosta kaikki toistot. Voimme sitten piirtää diagonaalisen kuvion, jonka avulla voimme laittaa murtoluvut luetteloon. Meillä on nyt jäljellä siisti lista murtoluvuista …

Jos meillä on lista murtoluvuista, ne voidaan laskea, ja rationaalilukuja sanotaan siksi laskettaviksi.

Miten löydämme äärettömyyden koon, joka on suurempi kuin?

Kaikkea lukua ei voi kirjoittaa murtolukuna. Lukuja, joita ei voi kirjoittaa murtolukuina, kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Hyvin tunnettuja esimerkkejä ovat ja suraalit, kuten ja .

Tällaisten irrationaalilukujen kuin (3.1415926535…) desimaalilaajennukset jatkuvat loputtomiin, eikä näitä lukuja voi koskaan kirjoittaa murtoluvuiksi, vaikka ihmiset käyttävätkin mielellään :tä :n likiarvona.

Katsotaan nyt kaikkien niiden lukujen joukkoa, jotka ovat välillä 0 ja 1. Tämä joukko sisältää rationaalilukuja, kuten , sekä irrationaalilukuja, kuten Tämä lukujoukko on selvästi äärettömän kokoinen, sillä voimme aina ajatella yhä useampia lukuja, jotka sisältyvät väliin (0,1).

Vuonna 1873 saksalainen matemaatikko nimeltä Georg Cantor keksi erittäin nokkelan todisteen siitä, että kaikkien reaalilukujen joukon koko intervallialueella (0,1) on suurempi ääretön kuin luonnollisten lukujen joukon koko.

Yhteenveto Cantorin kuuluisasta diagonaaliväitteestä.

Emme oleta, että kaikkien reaalilukujen joukon koko intervallialueella (0,1) on yhtä suuri kuin . Voisimme sitten tehdä listan, jossa yritetään laskea ylöspäin reaalilukuja väliltä 0 ja 1. Se voisi näyttää jotakuinkin tältä, jos emme ole kovin loogisia:

Kantorin todella nokkela seuraava askel oli konstruoida uusi luku, joka ei ole listalla. Cantorin argumentti toimii joko, jos käytämme yllä olevan kaltaista listaa, tai vaikka yrittäisimme vaivalloisesti tehdä loogisen listan, joka pyrkisi vangitsemaan kaikki luvut väliltä 0 ja 1:

Cantorin nokkela tapa valita luku, joka ei ole listalla.

Tämä uusi luku ei selvästikään ole luettelossa, ja Cantor oli löytänyt ristiriidan – Cantor osoitti, että luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välille ei voi koskaan muodostaa yksi yhteen -vastaavuutta väliin (0,1). Cantor oli osoittanut, että reaalilukujen koko on suurempi kuin luonnollisten lukujen koko! Reaaliluvut ovat lukemattomia! On olemassa eri kokoisia äärettömyyksiä!

Johtopäätöksenä voidaan todeta, että vastaus kysymykseen, mikä on maailman suurin luku, ei ole suoraviivainen. Lyhyesti sanottuna suurinta lukua ei ole olemassa, laskemista voi jatkaa loputtomiin. Mutta voit myös löytää kaksi numeroryhmää – molemmat äärettömän suuria, mutta myös eri kokoisia kuin toisistaan. Se on todella uskomatonta ajateltavaa!

Suurin luku: Lisätietoa

Tässä artikkelissa on vasta raapaistu pintaa tästä kiehtovasta ja mielettömästä aiheesta. Jos haluat lukea lisää, kokeile ’The Continuum Hypothesis’ Plus Magazinessa. Jos päätät opiskella matematiikkaa tutkintotasolla, sinulla on mahdollisuus opiskella niin sanottua joukko-oppia, joka kattaa yksityiskohtaisemmin tässä artikkelissa käsitellyt aiheet.

Artikkeli Hazel Lewis