Becker kävi näyttelijäntyön konservatorion Ranskassa, Florentin hovin (Olga Hörstig -palkinto) ja Lontoon kuninkaallisen näyttelijäntyön akatemian.
Hän oli mukana Cannesin Nuorten kykyjen promootiossa vuonna 2010. Samana vuonna hän debytoi valkokankaalla erilaisissa rooleissa. Hän näytteli nuorta poliitikkoa Julien Leclercqin ohjaamassa elokuvassa L’Assaut, alkoholistia liftaria Eric Valetten ohjaamassa elokuvassa La Proie, opiskelijaa Marie-Castille Mention Schaarin Ma Première Fois -elokuvassa ja nuorta liikemiestä Pascale Pouzadoux’n ohjaamassa elokuvassa La Croisière.
Vuonna 2010 hän debytoi Hollywoodissa näyttelemällä Monacon ruhtinasta Louis Grimaldia CW:n draamasarjassa Gossip Girl. Alun perin hän teki sopimuksen kahdesta jaksosta neljännellä kaudella. Myöhemmin hänen rooliaan jatkettiin vielä kahdeksalletoista jaksolla.
Vuonna 2011 hän näytteli Xavieria amerikkalaisessa elokuvassa Damsels in Distress, jonka ohjasi Whit Stillman (Oscar-ehdokas elokuvasta Metropolitan). Elokuva päätti 68. Venetsian elokuvajuhlat ja valittiin Toronton elokuvajuhlille.
Vuonna 2012 Becker näytteli Antoine Lavoisieria amerikkalaisessa dokumenttielokuvassa Mystery of the Matter, jonka ohjasi Mr. Meyer. Vuonna 2013 Hugo näytteli Isaac Dreyfussia, terroristisuhteeseen sekaantunutta jalkapallotähteä, BBC3:n sarjan kahdessa jaksossa.
Vuonna 2014 hän näytteli Romainin roolia minisarjan Chefs kuudessa jaksossa Clovis Cornillacin rinnalla, josta hän sai Adami-palkinnon parhaalle lupaavalle näyttelijälle Luchonin festivaalilla.
Vuosina 2015 ja 2018 hän näytteli pääroolin André Merlaux’ta, Ranskan salaisen palvelun nuorta alokasta vuonna 1960, kahdella kaudella (24 jaksoa) ranskalaisessa televisiosarjassa Au service de la France, joka tunnetaan englanniksi nimellä A Very Secret Service.
Vuonna 2016 hän aloitti näyttelemällä Cyril Balsanin roolia poliittisessa draamasarjassa Baron Noir Niels Arestrupin, Kad Merad Meradin ja Anna Mouglaliksen rinnalla. Samana vuonna hän näytteli pääroolin Yon Gonzálezin ja Lluís Homarin rinnalla espanjalaisessa rikosdraamasarjassa Bajo sospecha. Hän näytteli poliisia, joka soluttautui etsimään kadonnutta henkilöä madridilaisesta sairaalasta. Hän näytteli myös Guillaumen roolin Flavia Costen ohjaamassa komediassa Un jour mon prince.
Vuonna 2018 hän näytteli Xavier Durringerin elokuvassa Paradise Beach Sami Bouajilan, Kool Shenin, Seth Guekon ja Tewfik Jallabin rinnalla. Samana vuonna hän näytteli Mohamed Hamidin Jusqu’ici tout va bien -elokuvassa Gilles Lellouchen, Malik Bentalhan ja Sabrina Ouazanin rinnalla.
Vuonna 2019 hän näytteli Paul Vanhoven roolissa Netflixin tieteissarjassa Osmosis. Hän näyttelee Paul WR:n roolia Romain Quirot’n Le dernier voyage de l’énigmatique Paul W.R. -elokuvassa ja Maxin roolia Jean-Luc Herbulot’n ohjaamassa elokuvassa Döner.
Hugo Becker puhuu sujuvasti englantia ja espanjaa.
Vuodesta 2014 lähtien hän on ollut yksi Nouvelle Donne Productionsin tuottajista.