8.3 Autoregressiiviset mallit
Moninkertaisessa regressiomallissa ennustetaan kiinnostavaa muuttujaa käyttämällä lineaarista yhdistelmää ennustajia. Autoregressiomallissa ennustamme kiinnostavaa muuttujaa käyttämällä muuttujan aiempien arvojen lineaarista yhdistelmää. Termi autoregressio ilmaisee, että kyseessä on muuttujan regressio itseään vastaan.
Siten autoregressiivinen malli, jonka järjestys on \(p\), voidaan kirjoittaa seuraavasti: \(\(\varepsilon_t\) on valkoista kohinaa. Tämä on kuin moninkertainen regressio, mutta \(y_t\):n viivästyneet arvot ovat ennustajina. Kutsumme tätä AR(\(p\))-malliksi, autoregressiiviseksi malliksi, jonka järjestys on \(p\).
Autoregressiiviset mallit ovat huomattavan joustavia käsitellessään monia erilaisia aikasarjamalleja. Kuvion 8.5 kahdessa sarjassa on sarjat AR(1)-mallista ja AR(2)-mallista. Parametrien \(\phi_1,\dots,\phi_p\) muuttaminen johtaa erilaisiin aikasarjamalleihin. Virhetermin varianssi \(\varepsilon_t\) muuttaa vain sarjan skaalaa, ei kuvioita.
Kuva 8.5: Kaksi esimerkkiä datasta autoregressiivisistä malleista, joissa on eri parametrit. Vasen: AR(1), jossa \(y_t = 18 -0.8y_t-1} + \varepsilon_t\). Oikealla: AR(2), jossa \(y_t = 8 + 1,3y_t-1}-0,7y_t-2} + \varepsilon_t\). Molemmissa tapauksissa \(\varepsilon_t\) on normaalisti jakautunutta valkoista kohinaa, jonka keskiarvo on nolla ja varianssi yksi.
Jos kyseessä on AR(1)-malli:
- jos \(\phi_1=0\), \(y_t\) vastaa valkoista kohinaa;
- jos \(\phi_1=1\) ja \(c=0\), \(y_t\) vastaa satunnaista kävelyä;
- jos \(\phi_1=1\) ja \(c\ne0\), \(y_t\) vastaa satunnaiskävelyä, jossa on ajelehtimista;
- jos \(\phi_1<0\), \(y_t\) pyrkii värähtelemään keskiarvon ympärillä.
Rajoitamme autoregressiiviset mallit tavallisesti stationaarisiin aineistoihin, jolloin tarvitaan joitakin rajoituksia parametrien arvoille.
- AR(1)-mallille: \(-1 < \phi_1 < 1\).
- AR(2)-mallille: \(-1 < \phi_2 < 1\), \(\phi_1+\phi_2 < 1\), \(\phi_2-\phi_1 < 1\).
Kun \(p\ge3\), rajoitukset ovat paljon monimutkaisempia. R huolehtii näistä rajoituksista mallia estimoitaessa.