Elektronit ovat esimerkki hiukkastyypistä, jota kutsutaan fermioniksi. Muita fermioneja ovat muun muassa protonit ja neutronit. Varauksensa ja massansa lisäksi elektroneilla on toinen perustavanlaatuinen ominaisuus nimeltä spin. Hiukkanen, jolla on spin, käyttäytyy ikään kuin sillä olisi jonkinlainen ominainen kulmavauhti. Tämän vuoksi kullakin elektronilla on pieni magneettinen dipoli. Spinin kvanttiluku on hiukkasen spinin projektio mielivaltaista akselia pitkin (oppikirjoissa käytetään yleensä nimitystä z-akseli) ilmaistuna yksiköissä h. Elektroneilla on spin ½, joka voidaan kohdistaa kahdella mahdollisella tavalla, joita kutsutaan yleensä ”spin up” tai ”spin down”.
Kaikilla fermioneilla on puolen kokonaisluvun spin. Hiukkasta, jolla on kokonaislukuinen spin, kutsutaan bosoniksi. Fotonit, joilla on spin 1, ovat esimerkkejä bosoneista. Fermionien puolen kokonaisluvun spin on seurausta siitä, että se asettaa rajoituksen useamman kuin yhden fermionin sisältävän systeemin käyttäytymiselle.
Tämä rajoitus on Paulin poissulkemisperiaate, jonka mukaan kahdella fermionilla ei voi olla täsmälleen samoja kvanttilukuja. Tästä syystä kullakin elektronin energiatasolla voi olla vain kaksi elektronia – toisella elektronilla voi olla spin ylös ja toisella spin alas, jolloin niillä on eri spin-kvanttiluvut, vaikka elektroneilla on sama energia.
Nämä monen fermionin systeemin käyttäytymistä koskevat rajoitukset voidaan käsitellä tilastollisesti. Tuloksena on, että elektronit jakautuvat käytettävissä oleville energiatasoille Fermin Dirac-jakauman mukaisesti:
\
jossa f(ε) on energiatilan ε miehitystodennäköisyys, kB on Boltzmannin vakio, μ (kreikkalainen kirjain mu) on kemiallinen potentiaali ja T on lämpötila kelvineinä.
Jakauma kuvaa kvanttitilan, jonka energia on E, miehitystodennäköisyyttä lämpötilassa T. Jos tiedetään sekä käytettävissä olevien elektronitilojen energiat että tilojen degeneroituneisuus (niiden elektronien energiatilojen lukumäärä, joilla on sama energia), tätä jakaumaa voidaan käyttää elektronisysteemien termodynaamisten ominaisuuksien laskemiseen.
Automaattisessa nollapisteessä kemiallisen potentiaalin arvo μ määritellään Fermin energiaksi. Huoneenlämmössä metallien kemiallinen potentiaali on käytännössä sama kuin Fermin energia – tyypillisesti ero on vain 0,01 %:n luokkaa. Ei ole yllättävää, että metallien kemiallista potentiaalia huoneenlämmössä pidetään usein Fermin energiana. Kun kyseessä on puhdas seostamaton puolijohde äärellisessä lämpötilassa, kemiallinen potentiaali on aina valenssikaistan ja johtokaistan puolivälissä. Kuten tämän TLP:n myöhemmässä jaksossa nähdään, ekstrinsisissä (seostetuissa) puolijohteissa kemiallisella potentiaalilla on kuitenkin merkittävä lämpötilariippuvuus.
Jotta voimme kvalitatiivisesti ymmärtää elektronien käyttäytymistä äärellisessä lämpötilassa metalleissa ja puhtaissa seostamattomissa puolijohteissa, riittää selvästikin, että μ:tä käsitellään ensimmäisessä approksimaatiossa vakiona. Tällä approksimaatiolla Fermi-Dirac-jakauma voidaan piirtää useissa eri lämpötiloissa. Alla olevassa kuvassa μ:n arvoksi asetettiin 5 eV.
Tästä kuvasta nähdään selvästi, että absoluuttisessa nollapisteessä jakauma on askelfunktio. Sillä on arvo 1 Fermi-energian alapuolella oleville energioille ja arvo 0 sen yläpuolella oleville energioille. Äärellisissä lämpötiloissa jakauma hämärtyy, koska osa elektroneista alkaa olla termisesti virittyneitä kemiallisen potentiaalin μ ylittäville energiatasoille. Kuvasta nähdään, että huoneenlämpötilassa jakaumafunktio ei ole vielä kovin kaukana asteittaisesta funktiosta.
edellinen | seuraava