Tarkastellaan seuraavaa datasarjaa.
4; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 10
Tätä datasarjaa voidaan kuvata seuraavassa esitetyllä histogrammilla. Jokaisen intervallin leveys on yksi, ja jokainen arvo sijaitsee intervallin keskellä.
Histogrammi näyttää datan symmetrisen jakauman. Jakauma on symmetrinen, jos histogrammin johonkin kohtaan voidaan piirtää pystysuora viiva siten, että pystysuoran viivan vasemmalla ja oikealla puolella olevat muodot ovat toistensa peilikuvia. Näiden tietojen keskiarvo, mediaani ja moodi ovat kukin seitsemän. Täysin symmetrisessä jakaumassa keskiarvo ja mediaani ovat samat. Tässä esimerkissä on yksi moodi (unimodaalinen), ja moodi on sama kuin keskiarvo ja mediaani. Symmetrisessä jakaumassa, jossa on kaksi moodia (bimodaalinen), molemmat moodit olisivat eri kuin keskiarvo ja mediaani.
Datan histogrammi: 4; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8, joka on esitetty kuvassa 2.11, ei ole symmetrinen. Oikeanpuoleinen puoli näyttää ”katkaistulta” verrattuna vasemmanpuoleiseen. Tällaista jakaumaa kutsutaan vasemmalle vinoksi, koska se on vetäytynyt vasemmalle. Voimme muodollisesti mitata jakauman vinoutta aivan kuten voimme matemaattisesti mitata aineiston keskipainoa tai sen yleistä ”nopeutta”. Vinouden matemaattinen kaava on: a3=∑(xi-x¯)3ns3a3=∑(xi-x¯)3ns3. Mitä suurempi poikkeama nollasta on, sitä suurempi on vinous. Jos vinous on negatiivinen, jakauma on vinossa vasemmalle, kuten kuvassa 2.12. Positiivinen vinouden mitta osoittaa oikealle vinouden, kuten kuvassa 2.13.
Keskiarvo on 6,3, mediaani on 6,5 ja moodi on seitsemän. Huomaa, että keskiarvo on pienempi kuin mediaani, ja molemmat ovat pienempiä kuin moodi. Sekä keskiarvo että mediaani heijastavat vinoumaa, mutta keskiarvo heijastaa sitä enemmän.
Kuviossa 2.12 esitetty histogrammi aineistolle:6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 10 ei myöskään ole symmetrinen. Se on vinossa oikealle.
Keskiarvo on 7,7, mediaani on 7,5 ja moodi on seitsemän. Kolmesta tilastosta keskiarvo on suurin, kun taas moodi on pienin. Jälleen kerran keskiarvo heijastaa vinoutumaa eniten.
Yhteenvetona voidaan todeta, että yleensä jos aineiston jakauma on vinoutunut vasemmalle, keskiarvo on pienempi kuin mediaani, joka on usein pienempi kuin moodi. Jos aineiston jakauma on vinoutunut oikealle, moodi on usein pienempi kuin mediaani, joka on pienempi kuin keskiarvo.
Kuten keskiarvon, mediaanin ja moodin, ja kuten tulemme pian näkemään, varianssin osalta, on olemassa matemaattisia kaavoja, jotka antavat meille tarkkoja mittoja näille aineiston jakauman ominaisuuksille. Kun tarkastelemme jälleen vinoutta koskevaa kaavaa, huomaamme, että se on aineiston keskiarvon ja yksittäisten havaintojen välinen suhde kuutioituina.
joissa ss on aineiston otoksen keskihajonta, XiXi , ja x¯x¯ on aritmeettinen keskiarvo ja nn on otoskoko.
Formallisesti aritmeettinen keskiarvo tunnetaan jakauman ensimmäisenä momenttina. Toinen tarkasteltava momentti on varianssi, ja vinous on kolmas momentti. Varianssi mittaa aineiston neliöeroja keskiarvosta ja vinous mittaa aineiston kuutioeroja keskiarvosta. Varianssi ei voi koskaan olla negatiivinen luku, mutta vinouden mitta voi olla negatiivinen, ja näin määritetään, onko aineisto vino oikealle vai vasemmalle. Normaalijakauman vinous on nolla, ja kaikkien symmetristen tietojen vinouden pitäisi olla lähellä nollaa. Vinouden negatiiviset arvot osoittavat, että tiedot ovat vinossa vasemmalle, ja positiiviset arvot osoittavat, että tiedot ovat vinossa oikealle. Vasemmalle vino tarkoittaa, että vasen häntä on pitkä suhteessa oikeaan häntään. Vastaavasti oikealle vino tarkoittaa, että oikea häntä on pitkä suhteessa vasempaan häntään. Vinous kuvaa jakauman epäsymmetrian astetta keskiarvon ympärillä. Vaikka keskiarvo ja keskihajonta ovat mitallisia suureita (siksi otamme varianssin neliöjuuren ) eli niillä on samat yksiköt kuin mitatuilla suureilla XiXi, vinous määritellään tavanomaisesti siten, että se on dimensioton. Se on puhdas luku, joka kuvaa vain jakauman muotoa. Vinouden positiivinen arvo merkitsee jakaumaa, jonka epäsymmetrinen häntä ulottuu ulospäin kohti positiivisempaa X:ää, ja negatiivinen arvo merkitsee jakaumaa, jonka häntä ulottuu ulospäin kohti negatiivisempaa X:ää. Nollan mittainen vinouden arvo merkitsee symmetristä jakaumaa.
Vinoudesta ja symmetriasta tulee tärkeitä, kun keskustelemme todennäköisyysjakaumista myöhemmissä luvuissa.