Ääretön

Matemaattiset äärettömyydet

Vanhat kreikkalaiset ilmaisivat äärettömyyden sanalla apeiron, jolla oli liitännäismerkityksiä rajattomuudesta, määrittelemättömyydestä, määrittelemättömyydestä, määrittelemättömyydestä ja muodottomuudesta. Yksi varhaisimmista äärettömyyden esiintymisistä matematiikassa koskee neliön lävistäjän ja sivun välistä suhdetta. Pythagoras (n. 580-500 eaa.) ja hänen seuraajansa uskoivat aluksi, että mikä tahansa maailman osa-alue voidaan ilmaista järjestelyllä, jossa on mukana vain kokonaislukuja (0, 1, 2, 3, …), mutta he yllättyivät havaitessaan, että neliön lävistäjä ja neliön sivu ovat vertailukelvottomia – toisin sanoen niiden molempien pituuksia ei voida ilmaista minkään jaetun yksikön (tai mittakepin) kokonaislukujen moninkertaisina. Nykymatematiikassa tämä löytö ilmaistaan sanomalla, että suhde on irrationaalinen ja että se on loputtoman, toistumattoman desimaalisen sarjan raja. Kun kyseessä on neliö, jonka sivut ovat pituudeltaan 1, lävistäjä on neliöjuuri√2:sta, joka kirjoitetaan muodossa 1,414213562…, jossa ellipsi (…) tarkoittaa loputonta numerosarjaa, jossa ei ole mitään mallia.

Platon (428/427-348/347 eaa.) ja Aristoteles (384-322 eaa.) jakoivat kreikkalaisten yleisen vastenmielisyyden äärettömyyden käsitettä kohtaan. Aristoteles vaikutti myöhempään ajatteluun yli vuosituhannen ajan hylkäämällä ”todellisen” äärettömyyden (avaruudellisen, ajallisen tai numeerisen), jonka hän erotti ”potentiaalisesta” äärettömyydestä, joka perustuu siihen, että voidaan laskea loputtomasti. Välttääkseen todellisen äärettömyyden käytön Eudoksos Niduslainen (n. 400-350 eaa.) ja Arkhimedees (n. 285-212/211 eaa.) kehittivät tekniikan, joka myöhemmin tunnettiin nimellä uupumismenetelmä, jossa alue laskettiin puolittamalla mittayksikkö peräkkäisissä vaiheissa, kunnes jäljelle jäävä pinta-ala alitti jonkun kiinteän arvon (jäljelle jäävä alue oli ”uupunut”).

Äärettömän pieniä lukuja koskeva kysymys johti siihen, että englantilainen matemaatikko Isaac Newton ja saksalainen matemaatikko Gottfried Wilhelm Leibniz keksivät 1600-luvun lopulla laskennan. Newton otti käyttöön oman teoriansa äärettömän pienistä luvuista eli infinitesimaaleista perustellakseen derivaattojen eli kaltevuuksien laskemista. Hän piti hyödyllisenä tarkastella dy:n ja dx:n suhdetta, jossa dy on äärettömän pieni muutos y:ssä, joka syntyy, kun x:stä siirretään äärettömän pieni määrä dx x:n etäisyydelle. Infinitesimaalilukuja kritisoitiin voimakkaasti, ja suuri osa analyysin varhaishistoriasta keskittyi pyrkimyksiin löytää aiheelle vaihtoehtoinen, tiukka perusta. Infinitesimaalilukujen käyttö sai lopulta vakaan jalansijan, kun saksalaissyntyinen matemaatikko Abraham Robinson kehitti 1960-luvulla ei-standardianalyysin.

Suorempi äärettömyyden käyttö matematiikassa nousee esiin pyrittäessä vertailemaan äärettömien joukkojen, kuten viivan pisteiden joukon (reaaliluvut) tai laskulukujen joukon kokoja. Matemaatikot huomaavat nopeasti, että tavalliset intuitiot luvuista ovat harhaanjohtavia, kun puhutaan äärettömistä suureista. Keskiaikaiset ajattelijat olivat tietoisia siitä paradoksaalisesta seikasta, että eripituisilla viivapätkillä näytti olevan sama määrä pisteitä. Piirretään esimerkiksi kaksi samankeskistä ympyrää, joista toisen säde on kaksi kertaa suurempi kuin toisen säde (ja siten kaksi kertaa ympärysmitta), kuten kuvassa on esitetty. Yllättäen jokainen ulomman ympyrän piste P voidaan yhdistää sisemmän ympyrän ainutlaatuiseen pisteeseen P′ piirtämällä niiden yhteisestä keskipisteestä O viiva P:hen ja merkitsemällä sen leikkauspiste sisemmän ympyrän kanssa P′. Intuitio antaa ymmärtää, että ulommalla ympyrällä pitäisi olla kaksi kertaa enemmän pisteitä kuin sisemmällä ympyrällä, mutta tässä tapauksessa ääretön näyttää olevan sama kuin kaksi kertaa ääretön. Italialainen tiedemies Galileo Galilei käsitteli 1600-luvun alussa tätä ja vastaavaa ei-intuitiivista tulosta, joka tunnetaan nykyään Galileon paradoksina. Galilei osoitti, että laskennallisten lukujen joukko voidaan asettaa yksi-yhteen niiden neliöiden ilmeisesti paljon pienemmän joukon kanssa. Samoin hän osoitti, että laskulukujen joukko ja niiden kaksoislukujen joukko (eli parillisten lukujen joukko) voidaan asettaa pariksi. Galilei päätteli, että ”emme voi puhua äärettömistä määristä, joista yksi on suurempi tai pienempi kuin toinen tai yhtä suuri kuin toinen”. Tällaiset esimerkit saivat saksalaisen matemaatikon Richard Dedekindin vuonna 1872 ehdottamaan äärettömän joukon määritelmää sellaiseksi joukoksi, joka voidaan asettaa yksikäsitteiseen suhteeseen jonkin oikean osajoukon kanssa.

Sekaannusta äärettömistä lukumääristä selvitti saksalainen matemaatikko Georg Cantor vuodesta 1873 alkaen. Ensin Cantor osoitti tiukasti, että rationaalilukujen (murtolukujen) joukko on samankokoinen kuin laskettavien lukujen joukko; siksi niitä kutsutaan laskettaviksi eli denumeroitaviksi. Tämä ei tietenkään ollut mikään varsinainen järkytys, mutta myöhemmin samana vuonna Cantor osoitti yllättävän tuloksen, jonka mukaan kaikki äärettömyydet eivät ole yhtä suuria. Käyttämällä niin sanottua ”diagonaalista argumenttia” Cantor osoitti, että laskettavien lukujen koko on tiukasti pienempi kuin reaalilukujen koko. Tämä tulos tunnetaan Cantorin teoreemana.

Vertaillakseen joukkoja Cantor erotti ensin tietyn joukon ja sen koon eli kardinaalisuuden abstraktin käsitteen. Toisin kuin äärellisellä joukolla, äärettömällä joukolla voi olla sama kardinaalisuus kuin itseensä kuuluvalla osajoukolla. Cantor osoitti diagonaalisen argumentin avulla, että minkä tahansa joukon kardinaalisuuden on oltava pienempi kuin sen potenssijoukon – eli joukon, joka sisältää kaikki kyseisen joukon mahdolliset osajoukot – kardinaalisuus. Yleisesti ottaen joukolla, jossa on n elementtiä, on potenssijoukko, jossa on 2n elementtiä, ja nämä kaksi kardinaalisuutta eroavat toisistaan silloinkin, kun n on ääretön. Cantor kutsui äärettömien joukkojensa kokoja ”transfiniittisiksi kardinaaleiksi”. Hänen argumenttinsa osoittivat, että on olemassa transfiniittisiä kardinaaleja, joilla on loputtoman monta eri kokoa (kuten laskulukujen joukon ja reaalilukujen joukon kardinaalit).

Transfiniittisiä kardinaaleja ovat muun muassa alef-nolla (kokonaislukujen joukon koko), alef-yksi (seuraavaksi suurempi ääretön) ja jatkumo (reaalilukujen koko). Nämä kolme lukua kirjoitetaan vastaavasti myös ℵ0, ℵ1 ja c. Määritelmän mukaan ℵ0 on pienempi kuin ℵ1, ja Cantorin lauseen mukaan ℵ1 on pienempi tai yhtä suuri kuin c. Yhdessä valinta-aksioomaksi kutsutun periaatteen kanssa Cantorin lauseen todistusmenetelmällä voidaan varmistaa transfiniittisten kardinaalien loputon sarja, joka jatkuu ℵ1:n ohi sellaisiin lukuihin kuin ℵ2 ja ℵℵ0.

Jatkumo-ongelma on kysymys siitä, mikä alefoista on yhtä suuri kuin jatkumon kardinaali. Cantor arveli, että c = ℵ1; tämä tunnetaan nimellä Cantorin kontinuumihypoteesi (CH). CH:n voidaan ajatella myös toteavan, että minkä tahansa suoran pistejoukon on joko oltava laskettavissa (kooltaan pienempi tai yhtä suuri kuin ℵ0) tai sen on oltava yhtä suuri kuin koko avaruus (oltava kooltaan c).

1900-luvun alussa kehitettiin perusteellinen teoria äärettömistä joukoista. Tämä teoria tunnetaan nimellä ZFC, joka on lyhenne sanoista Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice. CH:n tiedetään olevan ratkaisematon ZFC:n aksioomien perusteella. Vuonna 1940 itävaltalaissyntyinen loogikko Kurt Gödel pystyi osoittamaan, että ZFC ei voi kumota CH:ta, ja vuonna 1963 amerikkalainen matemaatikko Paul Cohen osoitti, että ZFC ei voi todistaa CH:ta. Joukkoteoreetikot tutkivat edelleen tapoja laajentaa ZFC:n aksioomeja järkevällä tavalla, jotta CH voitaisiin ratkaista. Viimeaikaiset työt viittaavat siihen, että CH voi olla väärä ja että c:n todellinen koko voi olla suurempi ääretön ℵ2.