Matemáticas para las artes liberales

Planificando estos datos, parece tener una relación aproximadamente lineal:

Aunque hay técnicas estadísticas más avanzadas que pueden utilizarse para encontrar una ecuación que modele los datos, para hacernos una idea de lo que está ocurriendo, podemos encontrar una ecuación utilizando dos piezas de los datos, quizás los datos de 1993 y 2003.

Dejar que n = 0 se corresponda con 1993 daría P0 = 111 mil millones de galones.

Para encontrar d, necesitamos saber cuánto aumentó el consumo de gas cada año, en promedio. De 1993 a 2003 el consumo de gas aumentó de 111 mil millones de galones a 133 mil millones de galones, un cambio total de 133 – 111 = 22 mil millones de galones, en 10 años. Esto nos da un cambio promedio de 22 mil millones de galones / 10 años = 2,2 mil millones de galones por año.

Equivalentemente,

d=slope=\frac{text{changeinoutput}}{text{changeinput}}=\frac{133-111}{10-0}=\frac{22}{10}=2.2billones de galones por año

Ahora podemos escribir nuestra ecuación en la forma que se prefiera.

Forma recursiva

P0 = 111

Pn = Pn-1 + 2.2

Forma explícita

Pn = 111 + 2,2n

Calcular los valores utilizando la forma explícita y representarlos con los datos originales muestra lo bien que nuestro modelo se ajusta a los datos.

Ahora podemos utilizar nuestro modelo para hacer predicciones sobre el futuro, suponiendo que la tendencia anterior continúa sin cambios. Para predecir el consumo de gasolina en 2016:

n = 23 (2016 – 1993 = 23 años después)

P23 = 111 + 2,2(23) = 161,6

Nuestro modelo predice que Estados Unidos consumirá 161.6 mil millones de galones de gasolina en 2016 si la tendencia actual continúa.

Para encontrar cuándo el consumo alcanzará los 200 mil millones de galones, estableceríamos Pn = 200, y resolveríamos para n:

Pn = 200 Reemplazar Pn con nuestro modelo

111 + 2.2n = 200 Resta 111 de ambos lados

2,2n = 89 Divide ambos lados por 2,2

n = 40,4545

Esto nos dice que el consumo alcanzará los 200.000 millones unos 40 años después de 1993, que sería en el año 2033.

El valor de P0 en esta ecuación es 70, por lo que el coste inicial de partida es de 70 dólares. Esto nos dice que debe haber una cuota de iniciación o inicial de $70 para unirse al gimnasio.

El valor de d en la ecuación es 30, por lo que el coste aumenta en $30 cada mes. Esto nos dice que la cuota mensual de afiliación al gimnasio es de 30 dólares al mes.

Ejemplos

Una amiga está utilizando la ecuación Pn = 4600(1.072)n para predecir la matrícula anual en una universidad local. Dice que la fórmula se basa en los años posteriores a 2010. ¿Qué nos dice esta ecuación?

Vea lo siguiente para ver este ejemplo elaborado.

En 1990, el uso de energía residencial en los Estados Unidos era responsable de 962 millones de toneladas métricas de emisiones de dióxido de carbono. En el año 2000, esa cifra había aumentado a 1182 millones de toneladas métricas. Si las emisiones crecen exponencialmente y continúan al mismo ritmo, ¿a cuánto ascenderán las emisiones en 2050?

Vea más sobre este ejemplo aquí.

Redondeando

Como nota sobre el redondeo, observe que si hubiéramos redondeado la tasa de crecimiento al 2,1%, nuestro cálculo para las emisiones en 2050 habría sido 3347. El redondeo al 2% habría cambiado nuestro resultado a 3156. Una diferencia muy pequeña en las tasas de crecimiento se magnifica enormemente en el crecimiento exponencial. Por esta razón, se recomienda redondear la tasa de crecimiento lo menos posible.

Si necesita redondear, mantenga al menos tres dígitos significativos – números después de cualquier cero inicial. Así, 0,4162 podría redondearse razonablemente a 0,416. Una tasa de crecimiento de 0,001027 podría redondearse razonablemente a 0,00103.

Evaluación de raíces en la calculadora

En el ejemplo anterior, tuvimos que calcular la raíz 10 de un número. Esto es diferente a sacar la raíz cuadrada básica, √. Muchas calculadoras científicas tienen un botón para las raíces generales. Suele estar etiquetado como:

\aqrt{x}

Para evaluar la raíz 3 de 8, por ejemplo, escribiríamos 3 \aqrt{} 8, o 8 \qrt{}} 3, dependiendo de la calculadora. Pruébalo en la tuya para ver cuál usar – deberías obtener una respuesta de 2.

Si tu calculadora no tiene un botón de raíz general, no está todo perdido. En su lugar, puedes utilizar la propiedad de los exponentes, que establece que:

cuadrado{a}={a}^{frac{1}{2}}.

Así que, para calcular la tercera raíz de 8, podrías utilizar la tecla de exponentes de tu calculadora para evaluar 81/3. Para ello, escribe:

8 yx ( 1 ÷ 3 )

Los paréntesis indican a la calculadora que debe dividir 1/3 antes de hacer el exponente.

Pruébalo

El número de usuarios de una red social era de 45 mil en febrero, cuando se hizo pública oficialmente, y aumentó a 60 mil en octubre. Si el sitio está creciendo exponencialmente, y el crecimiento continúa al mismo ritmo, ¿cuántos usuarios deben esperar dos años después de que salieron a bolsa?

Ejemplo

Volviendo al último ejemplo, para comparar, ¿cuáles serían las emisiones de carbono en 2050 si las emisiones crecen linealmente al mismo ritmo?

Mostrar solución

De nuevo obtendremos que n = 0 se corresponde con 1990, dando P0 = 962. Para hallar d, podríamos adoptar el mismo enfoque que antes, observando que las emisiones aumentaron en 220 millones de toneladas métricas en 10 años, lo que da una diferencia común de 22 millones de toneladas métricas cada año.

Alternativamente, podríamos utilizar un enfoque similar al que utilizamos para hallar la ecuación exponencial. Cuando n = 10, la ecuación lineal explícita tiene el siguiente aspecto:

P10 = P0 + 10d

Conocemos el valor de P0, así que podemos ponerlo en la ecuación:

P10 = 962 + 10d

Como sabemos que P10 = 1182, sustituyéndolo obtenemos

1182 = 962 + 10d

Ahora podemos resolver esta ecuación para la diferencia común, d.

1182 – 962 = 10d

220 = 10d

d = 22

Esto nos dice que si las emisiones están cambiando linealmente, están creciendo en 22 millones de toneladas métricas cada año. Prediciendo las emisiones en 2050,

P60 = 962 + 22(60) = 2282 millones de toneladas métricas.

Notarás que este número es sustancialmente menor que la predicción del modelo de crecimiento exponencial. Calcular y graficar más valores ayuda a ilustrar las diferencias.

Una demostración de este ejemplo puede verse en el siguiente video.

Entonces, ¿cómo sabemos qué modelo de crecimiento usar cuando trabajamos con datos? Hay dos enfoques que deben utilizarse juntos siempre que sea posible:

1. Encuentra más de dos datos. Grafique los valores y busque una tendencia. ¿Parece que los datos cambian como una línea, o que los valores se curvan hacia arriba?
2. Considere los factores que contribuyen a los datos. ¿Son cosas que se espera que cambien de forma lineal o exponencial? Por ejemplo, en el caso de las emisiones de carbono, podríamos esperar que, en ausencia de otros factores, estuvieran estrechamente ligadas a los valores de la población, que tienden a cambiar exponencialmente.