Matematiske uendeligheder
De gamle grækere udtrykte uendelighed med ordet apeiron, som havde konnotationer af at være ubegrænset, ubestemt, udefineret og formløs. En af de tidligste forekomster af uendelighed i matematikken vedrører forholdet mellem diagonalen og siden i et kvadrat. Pythagoras (ca. 580-500 fvt.) og hans tilhængere troede oprindeligt, at ethvert aspekt af verden kunne udtrykkes ved et arrangement, der kun involverede hele tal (0, 1, 2, 3, …), men de blev overrasket over at opdage, at diagonalen og siden af et kvadrat er inkommensurable – det vil sige, at deres længder ikke begge kan udtrykkes som hele tals multipla af en fælles enhed (eller målepind). I moderne matematik udtrykkes denne opdagelse ved at sige, at forholdet er irrationelt, og at det er grænsen for en en uendelig, ikke-repetitiv decimalserie. I tilfældet med et kvadrat med sider af længde 1 er diagonalen kvadratrod af√2, skrevet som 1,414213562…, hvor ellipsen (…) angiver en endeløs række af tal uden mønster.
Både Platon (428/427-348/347 fvt.) og Aristoteles (384-322 fvt.) delte den generelle græske afsky for begrebet uendelighed. Aristoteles påvirkede den efterfølgende tænkning i mere end et årtusind med sin afvisning af den “faktiske” uendelighed (rumlig, tidsmæssig eller numerisk), som han adskilte fra den “potentielle” uendelighed, der består i at kunne tælle uden ende. For at undgå brugen af den faktiske uendelighed udviklede Eudoxus af Cnidus (ca. 400-350 fvt.) og Archimedes (ca. 285-212/211 fvt.) en teknik, der senere blev kendt som udtømmelsesmetoden, hvorved et område blev beregnet ved at halvere måleenheden i successive trin, indtil det resterende område var under en eller anden fast værdi (det resterende område var “udtømt”).
Spørgsmålet om uendeligt små tal førte til opdagelsen af regnearket i slutningen af 1600-tallet af den engelske matematiker Isaac Newton og den tyske matematiker Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton indførte sin egen teori om uendeligt små tal, eller infinitesimale tal, for at retfærdiggøre beregningen af afledte tal, eller hældninger. For at finde hældningen (dvs. ændringen i y i forhold til ændringen i x) for en linje, der berører en kurve i et givet punkt (x, y), fandt han det nyttigt at se på forholdet mellem dy og dx, hvor dy er en uendelig lille ændring i y, der fremkommer ved at flytte en uendelig lille mængde dx fra x. Infinitesimale tal blev stærkt kritiseret, og meget af den tidlige historie om analyse drejede sig om forsøg på at finde et alternativt, stringent grundlag for emnet. Brugen af infinitesimaltal fik endelig et solidt grundlag med udviklingen af ikke-standardiseret analyse af den tyskfødte matematiker Abraham Robinson i 1960’erne.
© MinutePhysics (A Britannica Publishing Partner)Se alle videoer til denne artikel
En mere direkte brug af uendelighed i matematikken opstår ved forsøg på at sammenligne størrelserne af uendelige mængder, såsom mængden af punkter på en linje (reelle tal) eller mængden af tællende tal. Matematikere bliver hurtigt slået af det faktum, at almindelige intuitioner om tal er misvisende, når man taler om uendelige størrelser. Middelalderens tænkere var opmærksomme på den paradoksale kendsgerning, at linjestykker af forskellig længde syntes at have det samme antal punkter. Tegn f.eks. to koncentriske cirkler, hvoraf den ene har dobbelt så stor en radius (og dermed dobbelt så stor en omkreds) som den anden, som vist i figuren. Overraskende nok kan hvert punkt P på den ydre cirkel parres med et unikt punkt P′ på den indre cirkel ved at trække en linje fra deres fælles centrum O til P og mærke dens skæringspunkt med den indre cirkel som P′. Intuitionen antyder, at den ydre cirkel bør have dobbelt så mange punkter som den indre cirkel, men i dette tilfælde synes uendelighed at være det samme som to gange uendelighed. I begyndelsen af 1600-tallet tog den italienske videnskabsmand Galileo Galilei fat på dette og et lignende ikke-intuitivt resultat, der i dag er kendt som Galileos paradoks. Galileo påviste, at mængden af tællende tal kunne sættes i en en-til-en korrespondance med den tilsyneladende meget mindre mængde af deres kvadrater. Han viste ligeledes, at mængden af tællende tal og deres dobbelttal (dvs. mængden af lige tal) kunne parres sammen. Galilei konkluderede, at “vi kan ikke tale om uendelige mængder som værende den ene større eller mindre end eller lig med den anden”. Sådanne eksempler fik den tyske matematiker Richard Dedekind til i 1872 at foreslå en definition af en uendelig mængde som en mængde, der kan sættes i et en-til-en-forhold med en egentlig delmængde.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Forvirringen omkring uendelige tal blev løst af den tyske matematiker Georg Cantor fra 1873. Først påviste Cantor stringent, at mængden af rationale tal (brøker) er lige så stor som de tællende tal; derfor kaldes de tællelige, eller denumerable. Dette kom naturligvis ikke som noget rigtigt chok, men senere samme år beviste Cantor det overraskende resultat, at ikke alle uendelige tal er lige store. Ved hjælp af et såkaldt “diagonalargument” viste Cantor, at størrelsen af de tællende tal er strengt mindre end størrelsen af de reelle tal. Dette resultat er kendt som Cantors sætning.
For at sammenligne mængder skelner Cantor først mellem en specifik mængde og det abstrakte begreb om dens størrelse, eller kardinalitet. I modsætning til en endelig mængde kan en uendelig mængde have den samme kardinalitet som en egentlig delmængde af sig selv. Cantor brugte et diagonalt argument til at vise, at kardinaliteten af en hvilken som helst mængde må være mindre end kardinaliteten af dens potensmængde – dvs. den mængde, der indeholder alle den givne mængdes mulige delmængder. Generelt har en mængde med n elementer en potensmængde med 2n elementer, og disse to kardinaliteter er forskellige, selv når n er uendelig. Cantor kaldte størrelserne af sine uendelige mængder for “transfinitte kardinaliteter”. Hans argumenter viste, at der findes transfinitte kardinaler af uendeligt mange forskellige størrelser (f.eks. kardinalerne for mængden af tællende tal og mængden af reelle tal).
De transfinitte kardinaler omfatter aleph-null (størrelsen af mængden af hele tal), aleph-one (den næste større uendelighed) og kontinuummet (størrelsen af reelle tal). Disse tre tal skrives også som henholdsvis ℵ0, ℵ1 og c. Pr. definition er ℵ0 mindre end ℵ1, og ifølge Cantors sætning er ℵ1 mindre end eller lig med c. Sammen med et princip, der kaldes valgaxiomet, kan Cantors sætning bevises ved hjælp af Cantors metode til at sikre en uendelig række af transfinitte kardinaler, der fortsætter forbi ℵ1 til tal som ℵ2 og ℵℵ0.
Kontinuumsproblemet er spørgsmålet om, hvilken af aleferne der er lig med kontinuumets kardinalitet. Cantor gættede på, at c = ℵ1; dette er kendt som Cantors kontinuumshypotese (CH). CH kan også opfattes som en påstand om, at enhver mængde af punkter på linjen enten skal være tællelig (af størrelse mindre end eller lig med ℵ0) eller skal have en størrelse, der er lige så stor som hele rummet (være af størrelse c).
I begyndelsen af 1900-tallet blev der udviklet en grundig teori om uendelige mængder. Denne teori er kendt som ZFC, som står for Zermelo-Fraenkel mængdelære med valgaxiomet. CH er kendt for at være ubeskrivelig på grundlag af aksiomerne i ZFC. I 1940 lykkedes det den østrigskfødte logiker Kurt Gödel at vise, at ZFC ikke kan modbevise CH, og i 1963 viste den amerikanske matematiker Paul Cohen, at ZFC ikke kan bevise CH. Mængdelærere fortsætter med at undersøge mulighederne for at udvide ZFC-aksiomerne på en fornuftig måde, så CH kan løses. Nyere arbejde tyder på, at CH måske er falsk, og at den sande størrelse af c måske er den større uendelighed ℵ2.