Magtlove:

Defining A Power Law

Tænk på en person, der begynder at vægtløfte for første gang.

I de første sessioner kan han/hun kun løfte en lille mængde vægt. Men efterhånden som de investerer mere tid, opdager de, at for hvert træningspas stiger deres styrke overraskende meget.

I et stykke tid gør de store forbedringer. Til sidst går deres fremskridt dog langsommere. I begyndelsen kunne de øge deres styrke med op til 10 % pr. træningspas; nu tager det måneder at forbedre sig med bare 1 %. Måske tyer de til at tage præstationsfremmende stoffer eller træne oftere. Deres motivation er svækket, og de opdager, at de bliver skadet, uden at der sker nogen reel ændring i den vægt, de kan løfte.

Lad os nu forestille os, at vores frustrerede vægtløfter beslutter sig for at begynde at løbe i stedet. Noget lignende sker. Selv om de første par løbeture er utroligt svære, øges personens udholdenhed hurtigt med hver uge, indtil den stabiliserer sig, og det aftagende udbytte sætter ind igen.

Både disse situationer er eksempler på kraftlove – et forhold mellem to ting, hvor en ændring i den ene ting kan føre til en stor ændring i den anden, uanset de oprindelige mængder. I begge vores eksempler fører en lille investering af tid i begyndelsen af forsøget til en stor stigning i præstationen.

Magtlove er interessante, fordi de afslører overraskende sammenhænge mellem forskellige faktorer. Som mental model er magtlove alsidige og har mange anvendelsesmuligheder inden for forskellige vidensområder.

Hvis dele af dette indlæg ser intimiderende ud for ikke-matematikere, så bær over med os. Det er værd at forstå matematikken bag magtlovene for at forstå deres mange anvendelser. Invester lidt tid i at læse dette og høst værdien – som i sig selv er et eksempel på en potenslov!

En potenslov repræsenteres ofte ved en ligning med en eksponent:

Y=MX^B

Hvert bogstav repræsenterer et tal. Y er en funktion (resultatet); X er variablen (det, man kan ændre); B er skaleringsordenen (eksponenten), og M er en konstant (uforanderlig).

Hvis M er lig med 1, er ligningen så Y=X^B. Hvis B=2, bliver ligningen Y=X^2 (Y=X kvadreret). Hvis X er 1, er Y også 1. Men hvis X=2, så er Y=4; hvis X=3, så er Y=9, osv. En lille ændring i værdien af X fører til en forholdsmæssig stor ændring i værdien af Y.

B=1 er kendt som den lineære skaleringslov.

For at fordoble en kageopskrift skal man bruge dobbelt så meget mel. At køre dobbelt så langt vil tage dobbelt så lang tid. (Medmindre du har børn, og i så fald skal du indregne toiletpauser, som tilsyneladende ikke har meget med afstanden at gøre). Lineære sammenhænge, hvor dobbelt så stort kræver dobbelt så meget, er enkle og intuitive.

Nonlineære sammenhænge er mere komplicerede. I disse tilfælde har man ikke brug for dobbelt så meget af den oprindelige værdi for at få dobbelt så stor stigning i en eller anden målbar egenskab. F.eks. kræver et dyr, der er dobbelt så stort som os, kun ca. 75 % mere mad end vi gør. Det betyder, at større dyr pr. størrelsesenhed er mere energieffektive end mindre dyr. Efterhånden som dyrene bliver større, falder den energi, der kræves for at forsørge hver enhed.

Et af kendetegnene ved et komplekst system er, at systemets adfærd adskiller sig fra den simple addition af dets dele. Denne egenskab kaldes emergent adfærd. “I mange tilfælde”, skriver Geoffrey West i Scale: The Universal Laws of Growth, Innovation, Sustainability, and the Pace of Life in Organisms, Cities, Economies, and Companies, “synes helheden at få sit eget liv, næsten løsrevet fra de specifikke egenskaber ved de enkelte byggesten.”

Dette kollektive resultat, hvor et system udviser væsentligt anderledes egenskaber end dem, der følger af en simpel sammenlægning af alle bidragene fra de enkelte bestanddele, kaldes en emergent adfærd.

Når vi sætter os for at forstå et komplekst system, siger vores intuition os, at vi skal bryde det ned i dets bestanddele. Men det er lineær tænkning, og det forklarer, hvorfor så meget af vores tænkning om kompleksitet ikke slår til. Små ændringer i et komplekst system kan forårsage pludselige og store ændringer. Små ændringer forårsager kaskader blandt de forbundne dele, ligesom at vælte den første dominobrik i en lang række.

Lad os vende tilbage til eksemplet med vores hypotetiske vægtløfter, der er blevet til løber. Efterhånden som de bruger mere tid på landevejen, vil der naturligt opstå begrænsninger for deres fremskridt.

Find vores eksponentielle ligning frem: Y=MX^B. Prøv at anvende den på løberen. (Vi vil forenkle løb, men hold dig til det.)

Y er den distance, løberen kan løbe, før han bliver udmattet. Det er det, vi forsøger at beregne. M, konstanten, repræsenterer deres løbeevne: en eller anden kombination af deres naturlige begavelse og deres træningshistorie. (Tænk på det på denne måde: Den olympiske mester Usain Bolt har en høj M; filminstruktøren Woody Allen har en lav M.)

Det efterlader os med det sidste udtryk: X^B. Variablen X repræsenterer den ting, vi har kontrol over: i dette tilfælde vores træningsmængde. Hvis B, eksponenten, ligger mellem 0 og 1, bliver forholdet mellem X og Y – mellem træningsmængde og udholdenhed – gradvist mindre proportionalt. Det er blot nødvendigt at indsætte et par tal for at se effekten.

Lad os sætte M til 1 for enkelhedens skyld. Hvis B=0,5 og X=4, så er Y=2. Fire miles på landevejen giver atleten mulighed for at løbe to miles ad gangen.

Øg X til 16, og Y stiger kun til 4. Løberen skal lægge fire gange så mange kilometer på landevejen for blot at fordoble sin løbeudholdenhed.

Her kommer det smarte: Med både løb og vægtløftning vil vi, når vi øger X, sandsynligvis se eksponenten, B, falde! Hvis vi firdobler vores træningsmængde fra 16 til 64 miles, er det usandsynligt, at vi fordobler vores udholdenhed igen. Det kræver måske en 10x forøgelse af kilometertallet for at gøre det. Til sidst vil forholdet mellem træningsmængde og udholdenhed blive næsten uendeligt.

Vi kender naturligvis denne tilstand som aftagende afkast: det punkt, hvor mere input giver gradvist mindre output. Ikke alene er forholdet mellem træningskilometer og udholdenhed ikke lineært til at begynde med, men det bliver også mindre lineært, efterhånden som vi øger vores træning.

Og hvad med negative eksponenter?

Det bliver endnu mere interessant. Hvis B=-0,5 og X=4, så er Y=0,5. Fire kilometer på vejen giver os en halv kilometer udholdenhed. Hvis X øges til 16, falder Y til 0,25. Mere træning, mindre udholdenhed! Dette svarer til, at en person tager alt for mange kilometer alt for tidligt: træningen er mindre end nyttig, da skaderne hober sig op.

Med negative tal gælder det, at jo mere X øges, jo mere skrumper Y. Dette forhold er kendt som en omvendt potenslov. B=-2 er f.eks. kendt som den omvendte kvadratlov og er en vigtig ligning i fysik.

Forholdet mellem tyngdekraft og afstand følger en omvendt potenslov. G er gravitationskonstanten; det er konstanten i Newtons gravitationslov, der relaterer tyngdekraften til partiklers masse og adskillelse, svarende til:

6,67 × 10-11 N m2 kg-2

Alle kræfter, der udstråler fra et enkelt punkt – herunder varme, lysintensitet og magnetiske og elektriske kræfter – følger den omvendte kvadratlov. I 1 m afstand fra et bål mærkes 4 gange så meget varme som i 2 m afstand osv.

Højere ordens kraftlove

Når B er et positivt heltal (et helt tal større end nul), er der navne for kraftlovene.

Når B er lig med 1, har vi en lineær sammenhæng, som vi diskuterede ovenfor. Dette er også kendt som en potenslov af første orden.

Det bliver virkelig interessant herefter.

Når B er 2, har vi en potenslov af anden orden. Et godt eksempel på dette er kinetisk energi. Kinetisk energi = 1/2 mv^2

Når B er 3, har vi en potenslov af tredje orden. Et eksempel på dette er den kraft, der omdannes fra vinden til rotationsenergi.

Kraft Tilgængelig = ½ (Lufttæthed)( πr^2)(Vindhastighed^3)(Kraftkoefficient)

(Der er en naturlig grænse her. Albert Betz konkluderede i 1919, at vindmøller ikke kan omdanne mere end 59,3 % af vindens kinetiske energi til mekanisk energi. Dette tal kaldes Betz-grænsen og repræsenterer effektkoefficienten ovenfor.)

Varmestrålingens lov er en potenslov af fjerde orden. Loven blev først udledt af den østrigske fysiker Josef Stefan i 1879 og separat af den østrigske fysiker Ludwig Boltzmann og fungerer således: Den varmestråleenergi, der udsendes fra en arealenhed i et sekund, er lig med proportionalitetskonstanten (Stefan-Boltzmann-konstanten) gange den absolutte temperatur i fjerde potens.

Der findes kun én potenslov med en variabel eksponent, og den anses for at være en af de kraftigste kræfter i universet. Det er også den mest misforståede. Vi kalder det for sammensætning. Formlen ser således ud:

Fremtidsværdi = (Nutidsværdi)(1+i)^n

hvor i er rentesatsen, og n er antallet af år.

I modsætning til i de andre ligninger er forholdet mellem X og Y potentielt uendeligt. Så længe B er positiv, vil Y stige i takt med, at X gør det.

Non-integrale potenslove (hvor B er en brøk, som i vores løbende eksempel ovenfor) er også af stor nytte for fysikere. Formler, hvor B=0,5 er almindelige.

Forestil dig en bil, der kører med en bestemt hastighed. Der gælder en ikke-integral potenslov. V er bilens hastighed, P er den benzin, der forbrændes pr. sekund for at nå denne hastighed, og A er luftmodstanden. Hvis bilen skal køre dobbelt så hurtigt, skal den bruge 4 gange så meget benzin, og hvis den skal køre 3 gange så hurtigt, skal den bruge 9 gange så meget benzin. Luftmodstanden stiger med stigende hastighed, og det er derfor, at hurtigere biler bruger så latterlige mængder benzin. Det kan virke logisk at tro, at en bil, der kører fra 40 miles i timen til 80 miles i timen, vil bruge en fjerdedel mere brændstof. Det er imidlertid forkert, fordi forholdet mellem luftmodstand og hastighed i sig selv er en potenslov.

Et andet eksempel på en potenslov er arealet af et kvadrat. Hvis man fordobler længden af to parallelle sider, firedobles arealet. Gør det samme med en 3D-terning, og arealet øges med en faktor otte. Det er ligegyldigt, om længden af kvadratet gik fra 1 cm til 2 cm, eller fra 100 m til 200 m; arealet firdobles stadig. Vi er alle bekendt med andenordens (eller kvadratiske) potenslove. Navnet kommer fra kvadrater, da forholdet mellem længde og areal afspejler den måde, som andenordens potenslove ændrer et tal på. Potenslove af tredje orden (eller kubiske) er ligeledes navngivet på grund af deres forhold til terninger.

Anvendelse af potenslove i vores liv

Nu da vi er kommet igennem den komplicerede del, lad os se på, hvordan potenslove dukker op inden for mange vidensområder. De fleste karrierer involverer en forståelse af dem, selv om det måske ikke er så indlysende.

Kraften bag renters rente

Renters rente er en af vores vigtigste mentale modeller og er helt afgørende at forstå i forbindelse med investering, personlig udvikling, læring og andre vigtige områder i livet.

I økonomi beregner vi renters rente ved hjælp af en ligning med disse variabler: P er det oprindelige pengebeløb. P’ er den resulterende pengesum, r er den årlige rentesats, n er renters rentehyppigheden, og t er tidslængden. Ved hjælp af en ligning kan vi illustrere kraften i renters rente.

Hvis en person indbetaler 1 000 $ i en bank i fem år til en kvartalsrente på 4 %, bliver ligningen således:

Fremtidsværdi = Nutidsværdi * ((1 + kvartalsrente) ^ Antal kvartaler)

Denne formel kan bruges til at beregne, hvor mange penge der vil være på kontoen efter fem år. Svaret er 2.220,20 $.

Sammensatte renter er en potenslov, fordi forholdet mellem den tid, et pengebeløb står på en konto, og det akkumulerede beløb til sidst er ikke-lineært.

I A Random Walk Down Wall Street giver Burton Malkiel et eksempel med to brødre, William og James. William begynder i en alder af 20 år og stopper i en alder af 40 år og investerer 4.000 dollars om året. I mellemtiden investerer James det samme beløb om året mellem 40 og 65 år. Når William fylder 65 år, har han investeret færre penge end sin bror, men han har ladet dem stige i 25 år. Når begge brødre går på pension, har William derfor 600 % flere penge end James – en forskel på 2 millioner dollars. Et af de klogeste finansielle valg, vi kan træffe, er at begynde at spare op så tidligt som muligt: ved at udnytte potenslove øger vi eksponenten så meget som muligt.

Sammensatte renter kan hjælpe os med at opnå økonomisk frihed og rigdom uden at have behov for en stor årlig indkomst. Medlemmer af bevægelsen for økonomisk uafhængighed (som f.eks. bloggeren Mr. Money Mustache) er levende eksempler på, hvordan vi kan anvende potenslove i vores liv.

Så langt tilbage som i 1800-tallet understregede Robert G. Ingersoll betydningen af renters rente:

En dollar til renters rente, med 24 procent, i hundrede år, ville give et beløb svarende til vores statsgæld. Renterne æder nat og dag, og jo mere de æder, jo mere sultne bliver de. Den gældsplagede landmand, der ligger vågen om natten, kan, hvis han lytter, høre den gnave. Hvis han ikke har nogen gæld, kan han høre sin majs vokse. Kom ud af gælden så hurtigt som muligt. Du har støttet doven grådighed og doven økonomi længe nok.

Sammensætning kan gælde for områder ud over økonomi – personlig udvikling, sundhed, læring, relationer og meget mere. For hvert område kan et lille input føre til et stort output, og resultaterne bygger på sig selv.

Non-lineær sprogindlæring

Når vi lærer et nyt sprog, er det altid en god idé at starte med at lære de ca. 100 mest brugte ord.

I alle kendte sprog udgør en lille procentdel af ordene størstedelen af brugen. Dette er kendt som Zipf’s lov, efter George Kingsley Zipf, der først identificerede fænomenet. Det mest anvendte ord i et sprog kan udgøre helt op til 7 % af alle anvendte ord, mens det næstmest anvendte ord bruges halvt så meget osv. Så få som 135 ord kan tilsammen udgøre halvdelen af et sprog (som det bruges af indfødte talere).

Hvorfor Zipfs lov gælder, er ukendt, selv om konceptet er logisk. Mange sprog indeholder et stort antal fagudtryk, som der sjældent er brug for (herunder juridiske eller anatomiske udtryk). En lille ændring i et ords frekvensrangering betyder en enorm ændring i dets anvendelighed.

Forståelse af Zipfs lov er en central del af accelereret sprogindlæring. Hvert nyt ord, vi lærer fra de 100 mest almindelige ord, vil have en enorm indvirkning på vores evne til at kommunikere. Efterhånden som vi lærer mindre almindelige ord, begynder det aftagende udbytte at sætte ind. Hvis hvert enkelt ord i et sprog blev opført i rækkefølge efter hyppighed af brug, ville et ord være mindre nyttigt, jo længere vi bevæger os nedad på listen.

Power Laws in Business, Explained by Peter Thiel

Peter Thiel, grundlæggeren af PayPal (samt en tidlig investor i Facebook og Palantir), anser power laws for at være et afgørende begreb, som alle forretningsfolk skal forstå. I sin fantastiske bog, Zero to One, skriver Thiel:

Det mest magtfulde mønster, jeg har bemærket, er, at succesfulde mennesker finder værdi uventede steder, og det gør de ved at tænke forretning ud fra første principper i stedet for formler.

Og:

I 1906 opdagede økonomen Vilfredo Pareto det, der blev til “Pareto-princippet” eller 80-20-reglen, da han bemærkede, at 20 % af befolkningen ejede 80 % af jorden i Italien – et fænomen, som han fandt lige så naturligt som det faktum, at 20 % af ærterne i hans have producerede 80 % af ærterne. Dette ekstraordinært skarpe mønster, hvor nogle få få overhaler alle rivaler radikalt, omgiver os overalt i den naturlige og sociale verden. De mest destruktive jordskælv er mange gange kraftigere end alle mindre jordskælv tilsammen. De største byer overdøver alle simple byer tilsammen. Og monopolvirksomheder erobrer mere værdi end millioner af udifferentierede konkurrenter. Uanset hvad Einstein sagde eller ikke sagde, er potensloven – der har fået sit navn, fordi eksponentielle ligninger beskriver meget ulige fordelinger – universets lov. Den definerer vores omgivelser så fuldstændigt, at vi normalt ikke engang ser den.

… n venturekapital, hvor investorerne forsøger at drage fordel af eksponentiel vækst i virksomheder i den tidlige fase, opnår nogle få virksomheder en eksponentielt større værdi end alle andre. … Vi lever ikke i en normal verden; vi lever under en potenslov.

… Den største hemmelighed inden for venturekapital er, at den bedste investering i en succesfuld fond svarer til eller overgår hele resten af fonden tilsammen.

Dette indebærer to meget mærkelige regler for venturekapitalvirksomheder. For det første skal man kun investere i virksomheder, der har potentiale til at give hele fondens værdi tilbage. … Dette fører til regel nummer to: Fordi regel nummer et er så restriktiv, kan der ikke være andre regler.

… ife er ikke en portefølje: ikke for en iværksætter af en startup-virksomhed og ikke for nogen enkeltperson. En iværksætter kan ikke “diversificere” sig selv; man kan ikke drive dusinvis af virksomheder på samme tid og så håbe på, at en af dem går godt. Det er mindre indlysende, men lige så vigtigt, at et individ ikke kan diversificere sit eget liv ved at have dusinvis af lige mulige karrierer i beredskab.

Thiel underviser i et kursus kaldet Startup på Stanford, hvor han hamrer værdien af at forstå kraftlove ind i hjelmen. I sin klasse formidler han rigeligt med visdom. Fra Blake Masters’ notater om klasse 7:

Og tænk på en prototypisk succesfuld venturefond. En række investeringer går til nul i løbet af en periode. Disse har en tendens til at ske tidligere snarere end senere. De investeringer, der lykkes, gør det på en slags eksponentiel kurve. Hvis man summerer den i løbet af en porteføljes levetid, får man en J-kurve. Tidlige investeringer mislykkes. Man skal betale forvaltningsgebyrer. Men derefter finder den eksponentielle vækst sted, i det mindste i teorien. Da man starter under vandet, er det store spørgsmål, hvornår man kommer over vandlinjen. Mange fonde når aldrig dertil.

For at besvare dette store spørgsmål er man nødt til at stille et andet: Hvordan ser fordelingen af afkastet i venturefonde ud? Det naive svar er blot at rangordne virksomhederne fra bedst til værst efter deres afkast i multiplum af de investerede dollars. Folk har en tendens til at gruppere investeringer i tre spande. De dårlige virksomheder går til nul. De middelmådige gør måske 1x, så man taber ikke meget og vinder ikke meget. Og så klarer de gode selskaber sig måske 3-10x.

Men denne model overser den vigtige indsigt, at det faktiske afkast er utroligt skævt. Jo mere en VC’er forstår dette skæve mønster, jo bedre er VC’eren. Dårlige VC’er har en tendens til at tro, at den stiplede linje er flad, dvs. at alle virksomheder er skabt lige, og at nogle bare fejler, spinder hjulene eller vokser. I virkeligheden får man en power law-fordeling.

Thiel forklarer, hvordan investorer kan anvende den mentale model for power laws (mere fra Masters’ noter på 7. klasse):

…Givet en stor power law-fordeling ønsker man at være ret koncentreret. … Der er bare ikke så mange virksomheder, som man kan have den fornødne høje grad af overbevisning om. En bedre model er at investere i måske 7 eller 8 lovende virksomheder, som du tror, at du kan få et 10x afkast fra. …

Selv om den eksponentielle tænkning har rødder i matematikken på mellemtrinnet, er det svært at tænke eksponentielt. Vi lever i en verden, hvor vi normalt ikke oplever noget eksponentielt. Vores generelle livserfaring er ret lineær. Vi undervurderer i høj grad eksponentielle ting.

Han advarer også mod at stole for meget på potenslove som strategi (en påstand, som man bør holde sig for øje for alle mentale modeller). Fra Masters’ noter:

Man bør ikke være mekanisk omkring denne heuristik, eller behandle den som en uforanderlig investeringsstrategi. Men den tjekker faktisk ret godt, så den tvinger dig i det mindste til at tænke på potenslovsfordelingen.

Forståelse af eksponenter og potenslovsfordelinger handler ikke kun om at forstå VC. Der er også vigtige personlige anvendelser. Mange ting, såsom vigtige livsbeslutninger eller opstart af virksomheder, resulterer også i lignende fordelinger.

Thiel forklarer derefter, hvorfor stiftere bør fokusere på én vigtig indtægtskilde i stedet for at forsøge at opbygge flere lige store:

Selv inden for en individuel virksomhed er der sandsynligvis en slags magtlov med hensyn til, hvad der vil drive den. Det er bekymrende, hvis en nystartet virksomhed insisterer på, at den vil tjene penge på mange forskellige måder. Power law-fordelingen på indtægter siger, at én indtægtskilde vil dominere alt andet.

For eksempel, hvis du er en iværksætter, der åbner en kaffebar, vil du have en masse måder, du kan tjene penge på. Du kan sælge kaffe, kager, malerier, merchandise og meget mere. Men hver af disse ting vil ikke bidrage til din succes på samme måde. Selv om der er værdi i opdagelsesprocessen, bør du, når du først har fundet den variabel, der betyder mest, lægge mere tid på denne variabel og mindre på de andre. Vigtigheden af at finde denne variabel kan ikke overvurderes.

Han erkender også, at magtlove er en af de store hemmeligheder for investeringssucces. Fra Masters’ noter til 11. klasse:

På et niveau er antikonkurrence-, magtlove- og fordelingshemmelighederne alle hemmeligheder om naturen. Men de er også hemmeligheder, der er skjult af mennesker. Det er afgørende at huske på. Lad os antage, at du laver et eksperiment i et laboratorium. Du forsøger at finde ud af en naturhemmelighed. Men hver aften kommer en anden person ind i laboratoriet og roder med dine resultater. Du vil ikke forstå, hvad der foregår, hvis du begrænser din tænkning til naturens side af tingene. Det er ikke nok at finde et interessant eksperiment og forsøge at udføre det. Man er også nødt til at forstå den menneskelige del.

… Vi ved, at virksomheder ifølge magtlovens hemmelighed ikke er ligeligt fordelt. Fordelingen har en tendens til at være bimodal; der er nogle fantastiske virksomheder, og så er der en masse virksomheder, der slet ikke fungerer. Men det er ikke nok at forstå dette. Der er stor forskel på at forstå magtlovens hemmelighed i teorien og på at kunne anvende den i praksis.

Nøglen til alle mentale modeller er at kende fakta og være i stand til at bruge begrebet. Som George Box sagde: “Alle modeller er falske, men nogle er nyttige”. Når vi har forstået det grundlæggende, er det bedste næste skridt at begynde at finde ud af, hvordan vi kan anvende det.

Metaforen om en usynlig person, der saboterer laboratorieresultater, er en glimrende metafor for, hvordan kognitive fordomme og genveje slører vores dømmekraft.

Naturlige kraftlove

Alle, der har holdt mange kæledyr, vil have bemærket sammenhængen mellem et dyrs størrelse og dets levetid. Små dyr som mus og hamstre har en tendens til at leve i et år eller to. Større dyr, som hunde og katte, kan leve 10-20 år, eller i sjældne tilfælde endnu længere. Hvis man skruer endnu mere op, kan nogle hvaler leve i 200 år. Det er en slags kraftlove.

Biologer har fundet klare sammenhænge mellem et dyrs størrelse og dets stofskifte. Kleibers lov (identificeret af Max Kleiber) siger, at et dyrs stofskifte stiger med tre fjerdedele af potensen af dyrets vægt (masse). Hvis en gennemsnitlig kanin (2 kg) vejer 100 gange så meget som en gennemsnitlig mus (20 g), vil kaninens stofskifte være 32 gange så stort som musens. Med andre ord er kaninens struktur mere effektiv. Det hele afhænger af geometrien bag deres masse.

Dette fører os til en anden biologisk kraftlov: Mindre dyr kræver mere energi pr. gram kropsvægt, hvilket betyder, at mus spiser omkring halvdelen af deres kropsvægt i tætte fødevarer hver dag. Årsagen er, at større dyr i procent af deres masse har mere struktur (knogler osv.) og færre reserver (fedtdepoter).

Forskning har illustreret, hvordan magtlove gælder for blodcirkulationen hos dyr. De endeenheder, hvorigennem ilt, vand og næringsstoffer kommer ind i cellerne fra blodbanen, er af samme størrelse hos alle dyr. Kun antallet pr. dyr varierer. Forholdet mellem det samlede areal af disse enheder og dyrets størrelse er en potenslov af tredje orden. Den afstand, som blodet tilbagelægger for at komme ind i cellerne, og den faktiske blodmængde er også underlagt potenslove.

Loven om aftagende udbytte

Som vi har set, kan en lille ændring på ét område føre til en stor ændring på et andet område. Men efter et vist punkt sætter det aftagende udbytte ind, og mere er værre. Hvis man arbejder en time ekstra om dagen, kan det betyde, at der bliver gjort mere, mens det at arbejde tre timer ekstra sandsynligvis vil føre til, at der bliver gjort mindre på grund af udmattelse. Hvis man går fra en stillesiddende livsstil til at løbe to dage om ugen, kan det resultere i en væsentlig forbedring af helbredet, men hvis man går op til syv dage om ugen, vil det medføre skader. Overivrigtighed kan forvandle en positiv eksponent til en negativ eksponent. For en travl restaurant vil ansættelse af en ekstra kok betyde, at der kan betjenes flere mennesker, men hvis man ansætter to nye kokke, kan det ødelægge den berømte bouillon.

Det måske mest undervurderede aftagende afkast, det afkast, vi aldrig ønsker at ende på den forkerte side af, er det mellem penge og lykke.

I David and Goliath diskuterer Malcolm Gladwell, hvordan aftagende afkast hænger sammen med familieindkomster. De fleste mennesker antager, at jo flere penge de tjener, jo lykkeligere vil de og deres familier være. Det er sandt – op til et vist punkt. En indkomst, der er for lav til at dække basale behov, gør folk ulykkelige og fører til langt flere fysiske og mentale sundhedsproblemer. En person, der går fra at tjene 30.000 dollars om året til at tjene 40.000 dollars om året, vil sandsynligvis opleve et dramatisk løft i lykkefølelse. Men at gå fra 100.000 dollars til 110.000 dollars fører til en ubetydelig ændring i trivsel.

Gladwell skriver:

De forskere, der forsker i lykke, foreslår, at flere penge holder op med at gøre folk lykkeligere ved en familieindkomst på omkring femoghalvfjerds tusind dollars om året. Derefter indtræder det, som økonomerne kalder “aftagende marginale afkast”. Hvis din familie tjener 75.000 og din nabo tjener 100.000, betyder de ekstra 25.000 om året, at din nabo kan køre i en pænere bil og gå ud at spise lidt oftere. Men det gør ikke din nabo lykkeligere end dig eller bedre rustet til at gøre de tusindvis af små og store ting, der gør det muligt at være en god forælder.