Der er to separate artikler i dette arkiv: “Hvordan ved vi noget om græsk matematik?” og “Hvordan ved vi noget om græske matematikere?”. Der er en udbredt opfattelse, at det spørgsmål, der stilles i denne artikel, om græsk matematik snarere end om græske matematikere, er let at besvare. Måske er det eneste, vi behøver at gøre for at besvare det, at læse de matematiske afhandlinger, som de græske matematikere har skrevet. Vi kunne meget naivt tro, at selv om nogle af de oprindelige tekster er gået tabt, burde der være nok tilbage til, at vi kan få et glimrende billede af den græske matematik.
Sandheden er imidlertid ikke nær så enkel, og vi vil illustrere den måde, hvorpå græske matematiske tekster er kommet ned til os, ved først at se på det måske mest berømte eksempel, nemlig Euklids Elementer. Når vi læser Heaths The Thirteen Books of Euclid’s Elements, læser vi så en engelsk oversættelse af de ord, som Euklid skrev i 300 f.Kr. For at besvare dette spørgsmål må vi undersøge den måde, hvorpå Elementerne er nået frem til os, og mere generelt, hvordan de gamle græske matematikeres skrifter er blevet bevaret.
Snarere overraskende nok er der fra den tidligere babyloniske matematiks tid originale tekster bevaret. Babylonierne skrev på tavler af ubrændt ler og brugte kileskrift. Symbolerne blev presset ind i bløde lertavler med den skrå kant af en stylus og havde derfor et kileformet udseende (og deraf navnet kileskrift). Mange tavler fra omkring 1700 f.Kr. er bevaret, og vi kan læse de originale tekster. Grækerne begyndte imidlertid at bruge papyrusruller, som de skrev deres værker på.
Papyrus stammer fra en græslignende plante, der dyrkes i Nildeltaområdet i Egypten, og som var blevet brugt som skrivemateriale så langt tilbage som 3000 f.Kr. Det blev dog ikke brugt af grækerne før omkring 450 f.Kr., for tidligere havde de kun en mundtlig tradition for at videregive viden gennem deres elever. Efterhånden som skriftlige optegnelser udviklede sig, brugte de også trætavler og vokstavler til arbejde, som ikke var beregnet til at være permanent. Nogle gange har skrift fra denne periode overlevet på ostrakaer, som er indskrevne pottemagerfragmenter. Man antager, at det første eksemplar af Elementerne blev skrevet på en papyrusrulle, som, hvis den var typisk for sådanne ruller, ville have været omkring 10 meter lang. Disse ruller var ret skrøbelige og blev let revet over, så de havde en tendens til at blive beskadiget, hvis de blev brugt meget. Selv hvis de blev efterladt uberørte, rådnede de ret hurtigt, undtagen under særligt tørre klimatiske forhold, som det er tilfældet i Egypten. Den eneste måde, hvorpå sådanne værker kunne bevares, var ved at få lavet nye kopier ret hyppigt, og da dette tydeligvis var en stor opgave, blev det kun gjort for tekster, der blev anset for at være af stor betydning.
Det er derfor let at se, hvorfor der ikke er overlevet nogen komplet græsk matematisk tekst, der er ældre end Euklids Elementer. Elementerne blev betragtet som et så fint stykke arbejde, at det gjorde de ældre matematiske tekster overflødige, og ingen ville fortsætte med at kopiere disse ældre tekster på nye papyrusruller blot for at bevare dem til historiske formål. Elementerne blev løbende kopieret, men der er to forskellige problemer, der opstår, når værker som dette bliver kopieret. For det første kan de være blevet kopieret af en person, der ikke havde noget teknisk kendskab til det materiale, der blev kopieret. I dette tilfælde ville der blive begået mange fejl i kopieringsprocessen (selv om historikere, som vi skal se nedenfor, kan udnytte dette til deres fordel). På den anden side kan kopien være blevet lavet af en person med stor viden, som kendte til senere udviklinger inden for de emner, der beskrives, og som derfor kan have tilføjet materiale, der ikke var i den oprindelige tekst.
Fra 300 f.Kr. til kodeksformen af bogen blev udviklet, må Elementerne være blevet kopieret mange gange. Kodeksen bestod af flade ark af materiale, der blev foldet og syet sammen til noget, der var langt mere genkendeligt som en bog. De tidlige kodekser var lavet af papyrus, men senere udviklinger erstattede dette med pergament. Kodicer begyndte at dukke op omkring det 2. århundrede e.Kr., men de var ikke det vigtigste medium for værker før det 4. århundrede.
Der skete ikke kun en udvikling i det materiale, som værkerne blev skrevet på, men også i den skrift, der blev brugt til at skrive. På de oprindelige papyrusruller var alt skrevet med store bogstaver uden mellemrum mellem ordene. Det krævede meget materiale at skrive relativt lidt, og det var også svært at læse. Minuskulær skrift, som blev udviklet omkring 800 e.Kr., bestod af små bogstaver og var meget mere kompakt og letlæselig. Der begyndte en proces med at omdanne de gamle store bogstaver uden mellemrum til minuskler, og meget af den matematiske skrift, der har overlevet, har gjort det, fordi den blev kopieret til dette nye format.
Vi er nu nået frem til den ældste bevarede komplette kopi af Elementerne skrevet i minuskler i 888 e.Kr. Arethas, biskop af Caesarea Cappadociae (nu i det centrale Tyrkiet), opbyggede et bibliotek med religiøse og matematiske værker, og et af de otte værker fra dette bibliotek, der har overlevet, er Elementerne, der blev kopieret af skribenten Stephanus til Arethas. Det kostede Arethas 14 guldstykker, hvilket svarer til ca. en femtedel af det beløb, som en skribent kan forvente at få om året. Lad os kalde dette manuskript af Euklids Elementer E888 for at gøre det lettere at henvise til det. Der er en række punkter, som vi nu bør gøre opmærksom på:
ii) Selv om E888 er den ældste overlevende komplette tekst af Elementerne, findes der ældre fragmenter (se f.eks. og ). Seks særligt gamle fragmenter (fra ca. 225 f.Kr.) af det, der kan være dele af teksten, blev fundet på Elephantine Island i 1906. Eksperter diskuterer, om disse blev skrevet af en person, der studerede Elementerne eller undersøgte en bog, som Euklid indarbejdede i Elementerne.
iii) Nogle overlevende tekster, der blev skrevet senere end E888, er ikke desto mindre baseret på en tidligere version af Elementerne end E888.
iv) Manuskriptet E888 indeholder, som det er typisk for sådanne manuskripter, annotationer, der blev lavet på den tidligere kopi, som skribenten Stephanus brugte og som han kopierede på E888. Det indeholder også annotationer lavet af senere læsere.
v) De fleste af de manuskripter af Elementerne, der er overleveret, er baseret på en version med kommentarer og tilføjelser, udarbejdet af Theon af Alexandria (måske med hjælp fra hans datter Hypatia) i det 4. århundrede e.Kr. E888 er faktisk baseret på Theons arbejde.
vi) De første versioner af Elementerne, der udkom i Europa i middelalderen, var ikke oversættelser af nogen af disse græske tekster til latin. På dette tidspunkt kendte man ingen græske tekster af Elementerne, og de eneste versioner af Elementerne var dem, der var blevet oversat til arabisk.
vii) Det er værd at bemærke, at grunden til, at der ofte gives som begrundelse for, at ingen tidligere kopier af tekster har overlevet, er, at araberne brændte biblioteket i Alexandria i 642 e.Kr. Det viser sig imidlertid, at der ikke er nogen sandhed i historien om, at araberne brændte dette bibliotek, se for eksempel .
Faktisk blev den første arabiske oversættelse foretaget af al-Hajjaj tidligt i det 9. århundrede. En anden oversættelse af Hunayn blev revideret af Thabit ibn Qurra også i det 9. århundrede. Gherard af Cremona oversatte Thabit-versionen til latin i det 12. århundrede. En tidligere latinsk oversættelse fra arabisk af Adelard af Bath fra omkring 1120 er bevaret. Disse oversættelser fra arabisk er alle af versioner, der går tilbage til Theon af Alexandrias udgave.
Sammenhængen mellem de forskellige versioner af et stort antal græske matematiske manuskripter blev glimrende udredt af den danske forsker J L Heiberg mod slutningen af det 19. århundrede. Det vil være umuligt at yde retfærdighed til det videnskabelige arbejde, der var forbundet med en sådan opgave, men vi angiver i det mindste den måde, den er grebet an på. Hvis vi sammenligner to manuskripter AAA og BBB og konstaterer, at de fejl, der findes i AAA, også findes i BBB, men at der er nogle fejl i BBB, som ikke findes i AAA, så er det rimeligt at konkludere, at BBB er kopieret fra AAA, eller at det er kopieret fra en kopi af AAA. Hvis vi finder, at AAA og BBB har fælles fejl, men at de også hver især har deres egne fejl, er det sandsynligt, at både AAA og BBB er kopieret fra CCC. Hvis der ikke er overlevet noget manuskript, der passer til CCC’s rolle, så kan CCC rekonstrueres ud fra AAA og BBB med en vis grad af sikkerhed.
Med metoder af denne type viste Heiberg, at alle undtagen ét af de overlevende manuskripter af Elementerne stammer fra Theons af Alexandrias udgave. Den ene undtagelse var baseret på en tidligere version af teksten end Theons udgave, men denne tidligere version var i sig selv senere end den version, som Theon må have baseret sin udgave på. Mellem 1883 og 1888 udgav Heiberg en udgave af Elementerne, som var så tæt på originalen, som han var i stand til at fremstille (se ). Heaths udgave fra 1908 ( er en senere udgave af dette værk) var baseret på Heibergs udgave og indeholder en beskrivelse af de forskellige manuskripter, der har overlevet.
Vi har kun givet en kortfattet indikation af den måde, Elementerne er kommet til os på. Vi henviser til og for en detaljeret beskrivelse. Lad os nu vende os mod værker af den måske største af de græske matematikere, nemlig Archimedes.
William af Moerbeke (1215-1286) var ærkebiskop af Korinth og en klassisk videnskabsmand, hvis latinske oversættelser af græske værker spillede en vigtig rolle i overførslen af græsk viden til middelalderens Europa. Han havde to græske manuskripter af Archimedes’ værker, og han lavede sine latinske oversættelser ud fra disse manuskripter. Det første af de to græske manuskripter er ikke blevet set siden 1311, hvor det formodentlig blev ødelagt. Det andet manuskript overlevede længere og fandtes helt sikkert frem til det 16. århundrede, hvorefter det også forsvandt. I årene mellem det tidspunkt, hvor Vilhelm af Moerbeke lavede sin latinske oversættelse, og det forsvandt, blev dette andet manuskript kopieret flere gange, og nogle af disse kopier er bevaret. Indtil 1899 havde Heiberg ikke fundet nogen kilder til Archimedes’ værker, som ikke var baseret på Vilhelm af Moerbekes latinske oversættelser eller på de kopier af det andet græske manuskript, som han brugte i sin oversættelse.
I 1899 indtraf en usædvanlig vigtig begivenhed i vores forståelse af Archimedes’ værker. En Archimedes-palimpsest blev opført i et katalog over 890 værker i biblioteket i Metochion of the Holy Sepulchre i Istanbul. I 1906 kunne Heiberg begynde at undersøge Archimedes-palimpsestet i Istanbul. Hvad var det præcist, Heiberg undersøgte? Et palimpsest er en tekst, der er blevet vasket, så en anden tekst kan skrives ovenpå. Den underliggende tekst, i dette tilfælde Archimedes’ værker, siges at være “i palimpsest”. De to vigtigste grunde til at gøre dette var enten omkostningerne, det var billigere at genbruge et gammelt pergament frem for at købe et nyt, eller ofte blev græske tekster bevidst ødelagt, for det blev af nogle kristne betragtet som en hellig handling at ødelægge en hedensk tekst og erstatte den med en kristen tekst.
Arkimedes palimpsest var blevet kopieret i det 10. århundrede af en munk i et græsk-ortodoks kloster i Konstantinopel. I det 12. århundrede var pergamentet så blevet vasket, og religiøse tekster var blevet skrevet ovenpå. Oprindeligt var siderne ca. 30 cm gange 20 cm, men da de blev genbrugt, blev siderne foldet på midten, så de blev til en bog på 20 cm gange 15 cm med 174 sider. Dette indebar naturligvis, at de nye tekster blev skrevet vinkelret på den arkimediske tekst, og da den blev indbundet som en bog, var en del af den arkimediske tekst i ryggen på den “nye” bog fra det 12. århundrede. For at gøre Heibergs opgave endnu vanskeligere var siderne i Archimedes-teksten blevet brugt i en vilkårlig rækkefølge ved fremstillingen af den nye bog. Heiberg havde imidlertid alle de nødvendige færdigheder til at håndtere disse problemer.
Hvad fandt Heiberg? Palimpsestet indeholdt fire af Archimedes’ værker, som allerede var kendt, men versionerne på palimpsestet var uafhængige af de to forsvundne manuskripter, som Vilhelm af Moerbeke havde brugt i sine latinske oversættelser. Dette var et spændende fund for forskere, der ønskede at få mere indsigt i det oprindelige indhold af Archimedes’ værk. Endnu bedre var det, at palimpsestet også indeholdt en tekst af On floating bodies, som indtil da kun var kendt gennem latinske oversættelser. Det bedste af det hele var imidlertid, at man på palimpsestet fandt et værk af Archimedes, som man ikke kendte nogen kopi af på noget sprog, før Heiberg studerede palimpsestet. Det var den yderst vigtige Method of mechanical theorems, som vi beskriver i Archimedes’ biografi.
Heiberg offentliggjorde sin rekonstruktion af Archimedes’ værker fundet i palimpsestet, mens selve palimpsestet forblev i klosteret i Istanbul. Men inden udgivelsen af Heibergs nye udgave af Archimedes’ værker med disse bemærkelsesværdige nye opdagelser var færdig, blev regionen kastet ud i krig sammen med resten af Europa. Under Første Verdenskrig planlagde de allierede at dele det osmanniske imperium, men Mustafa Kemal, senere kendt som Atatürk, havde andre idéer. Atatürk stod over for lokale oprør, officielle osmanniske styrker, der var imod ham, og græske væbnede styrker. Tyrkiet blev imidlertid erklæret en suveræn nation i januar 1921, men senere samme år gjorde de græske hære store fremrykninger og nåede næsten frem til Ankara. Overlevelsen af biblioteket i Metochion of the Holy Sepulchre i Istanbul kunne ikke garanteres midt under kampene, og lederen af den græsk-ortodokse kirke anmodede om, at bøgerne fra biblioteket blev sendt til Grækenlands nationalbibliotek for at sikre deres sikkerhed. Af de 890 værker i biblioteket nåede kun 823 frem til Grækenlands nationalbibliotek, og Archimedes-palimpsestet var ikke blandt dem.
Det er uklart, hvad der præcist skete med Archimedes-palimpsestet. Den var tilsyneladende i hænderne på en ukendt fransk samler fra 1920’erne, selv om palimpsestet forblev officielt forsvundet, og de fleste mennesker antog, at det var blevet ødelagt. Den franske samler kan have solgt den for ganske nylig, men det eneste, vi ved med sikkerhed, er, at palimpsestet blev solgt på auktion hos Christie’s i New York i 1998 på vegne af en anonym sælger. Den blev udstillet med ryggen brudt op for at afsløre hele den originale tekst, som havde været i ryggen, da Heiberg undersøgte den. Den blev solgt til en anonym køber for 2 millioner dollars den 29. oktober 1998, men den nye ejer har indvilliget i at stille den til rådighed for videnskabelig forskning.
Klik på billedet ovenfor for at se en større version.
Der er fortsat en række mysterier vedrørende palimpsestet ud over hvem den nuværende ejer er:
Hvem ejede palimpsestet i årene 1922 til 1998?
Palimpsestet blev set med en række ikoner på sig, da det blev udstillet af Christie’s i New York i 1998, men Heiberg havde ikke nævnt nogen ikoner på værket. Var ikonerne tilføjet af en af dets ejere i et forsøg på at øge dets værdi?
De diagrammer, der ses i den version af On floating bodies i palimpsestet, er forskellige fra dem, der ses i oversættelsen af William af Moerbeke. Mere mærkeligt er det, at de er forskellige fra dem, der optræder i Heibergs version af Om svævende legemer, hvor teksten fra palimpsestet er med. Hvor stammer de diagrammer, som Heiberg har fremstillet, fra, hvis ikke fra palimpsestet?