Hvid støj | Li Linguas

Hvid støjvektorRediger

En tilfældig vektor (dvs. en delvist ubestemt proces, der producerer vektorer af reelle tal) siges at være en hvid støjvektor eller hvid tilfældig vektor, hvis dens komponenter hver især har en sandsynlighedsfordeling med nul middelværdi og finite varians og er statistisk uafhængige: det vil sige, at deres fælles sandsynlighedsfordeling skal være produktet af fordelingerne af de individuelle komponenter.

En nødvendig (men generelt ikke tilstrækkelig) betingelse for statistisk uafhængighed af to variabler er, at de er statistisk ukorrelerede; det vil sige, at deres kovarians er nul. Derfor skal kovariansmatrixen R for komponenterne i en hvid støjvektor w med n elementer være en n gange n diagonalmatrix, hvor hvert diagonalelement Rii er variansen af komponent wi; og korrelationsmatrixen skal være den n gange n identitetsmatrix.

Hvis hver variabel i w ud over at være uafhængig også har en normalfordeling med nul middelværdi og samme varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

, siges w at være en Gaussisk hvid støjvektor. I så fald er den fælles fordeling af w en multivariat normalfordeling; uafhængigheden mellem variablerne indebærer så, at fordelingen har sfærisk symmetri i det n-dimensionelle rum. Derfor vil enhver ortogonal transformation af vektoren resultere i en Gaussisk hvid tilfældig tilfældig vektor. Især under de fleste typer diskrete Fouriertransformationer, såsom FFT og Hartley, vil transformationen W af w også være en Gaussisk hvid støjvektor; det vil sige, at de n Fourierkoefficienter af w vil være uafhængige Gaussiske variabler med nul middelværdi og den samme varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

Effektspektret P af en tilfældig vektor w kan defineres som den forventede værdi af den kvadrerede modulus af hver koefficient af dens Fouriertransform W, dvs. Pi = E(|Wi|2). I henhold til denne definition vil en hvid, gaussisk støjvektor have et perfekt fladt effektspektrum, med Pi = σ2 for alle i.

Hvis w er en hvid tilfældig vektor, men ikke en gaussisk, vil dens Fourier-koefficienter Wi ikke være fuldstændig uafhængige af hinanden; selv om afhængighederne for store n og almindelige sandsynlighedsfordelinger er meget subtile, og deres parvise korrelationer kan antages at være nul.

Ofte anvendes den svagere betingelse “statistisk ukorreleret” i definitionen af hvid støj, i stedet for “statistisk uafhængig”. Nogle af de almindeligt forventede egenskaber ved hvid støj (f.eks. fladt effektspektrum) gælder dog muligvis ikke for denne svagere version. Under denne antagelse kan den strengere version udtrykkeligt omtales som uafhængig hvid støjvektor. s.60 Andre forfattere bruger i stedet stærkt hvid og svagt hvid.

Et eksempel på en tilfældig vektor, der er “Gaussisk hvid støj” i den svage, men ikke i den stærke betydning, er x= hvor x1 er en normal tilfældig variabel med middelværdi nul, og x2 er lig med +x1 eller med -x1 med samme sandsynlighed. Disse to variabler er ukorrelerede og individuelt normalfordelte, men de er ikke fælles normalfordelte og er ikke uafhængige. Hvis x roteres 45 grader, vil dens to komponenter stadig være ukorrelerede, men deres fordeling vil ikke længere være normal.

I nogle situationer kan man lempe definitionen ved at tillade, at hver komponent af en hvid tilfældig vektor w har en forventet værdi μ μ {\displaystyle \mu }, som ikke er nul.

. Især inden for billedbehandling, hvor prøverne typisk er begrænset til positive værdier, tager man ofte μ {\displaystyle \mu }

til at være halvdelen af den maksimale prøveværdi. I så fald vil Fourierkoefficienten W0, der svarer til nulfrekvenskomponenten (i det væsentlige gennemsnittet af wi), også have en forventet værdi μ n {\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}, der ikke er nul.

; og effektspektret P vil kun være fladt over de frekvenser, der ikke er nul.

Diskret tids hvid støjRediger

En diskret tidsstokastisk proces W {\displaystyle W}

er en generalisering af tilfældige vektorer med et endeligt antal komponenter til uendeligt mange komponenter. En diskret tidsstokastisk proces W {\displaystyle W}

kaldes hvid støj, hvis dens middelværdi ikke afhænger af tiden n {\displaystyle n}

og er lig med nul, dvs. E ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} ]=0}

og hvis autokorrelationsfunktionen R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=\operatornavn {E}} W]}

kun afhænger af n {\displaystyle n}

men ikke af k {\displaystyle k}

og har kun en værdi forskellig fra nul for n = 0 {\displaystyle n=0}

, dvs. R W = σ 2 δ {\displaystyle R_{W}=\sigma ^{2}\delta }

Hvid støj i kontinuerlig tidRediger

For at definere begrebet “hvid støj” i teorien om signaler i kontinuerlig tid må man erstatte begrebet “tilfældig vektor” med et tilfældigt signal i kontinuerlig tid; det vil sige en tilfældig proces, der genererer en funktion w {\displaystyle w}

af en realværdiparameter t {\displaystyle t}

En sådan proces siges at være hvid støj i stærkeste forstand, hvis værdien w ( t ) {\displaystyle w(t)}

for ethvert tidspunkt t {\displaystyle t}

er en tilfældig variabel, som er statistisk uafhængig af hele sin historie før t {\displaystyle t}

. En svagere definition kræver kun uafhængighed mellem værdierne w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

og w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

på hvert par af forskellige tidspunkter t 1 {\displaystyle t_{1}}

og t 2 {\displaystyle t_{2}}}

. En endnu svagere definition kræver kun, at sådanne par w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

og w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

være ukorrelerede. Som i det diskrete tilfælde anvender nogle forfattere den svagere definition for “hvid støj” og bruger betegnelsen uafhængig til at henvise til en af de stærkere definitioner. Andre bruger svagt hvid og stærkt hvid for at skelne mellem dem.

En præcis definition af disse begreber er imidlertid ikke triviel, fordi nogle størrelser, der er finitte summer i det finitte diskrete tilfælde, skal erstattes af integraler, der måske ikke konvergerer. Faktisk er mængden af alle mulige forekomster af et signal w {\displaystyle w}

er ikke længere et finite-dimensionelt rum R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}}

, men et uendelig-dimensionelt funktionsrum. Desuden vil et hvidt støjsignal w {\displaystyle w}

være væsentligt diskontinuerligt i hvert punkt; derfor vil selv de enkleste operationer på w {\displaystyle w}

, som f.eks. integration over et endeligt interval, kræver avancerede matematiske maskiner.

Nogle forfattere kræver, at hver værdi w ( t ) {\displaystyle w(t)}

at være en reelt værdisat tilfældig variabel med forventning μ {\displaystyle \mu }

og en vis finite varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

. Så er kovariansen E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

mellem værdierne på de to tidspunkter t 1 {\displaystyle t_{1}}

og t 2 {\displaystyle t_{2}}}

er veldefineret: den er nul, hvis tidspunkterne er forskellige, og σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

, hvis de er ens. Men ved denne definition er integralet W = ∫ a a a + r w ( t ) d t {\displaystyle W_{}=\int _{a}^{a}^{a+r}w(t)\,dt}

over ethvert interval med positiv bredde r {\displaystyle r}

vil simpelthen være bredden gange forventningen: r μ {\displaystyle r\mu }

. Denne egenskab ville gøre begrebet utilstrækkeligt som en model for fysiske “hvid støj”-signaler.

Derfor definerer de fleste forfattere signalet w {\displaystyle w}

indirekte ved at angive værdier, der ikke er nul, for integralerne af w ( t ) {\displaystyle w(t)}

og | w ( t ) | 2 {\displaystyle |w(t)|^{2}}

over et hvilket som helst interval {\displaystyle }

, som en funktion af dets bredde r {\displaystyle r}

. I denne fremgangsmåde er værdien af w ( t ) {\displaystyle w(t)}

på et isoleret tidspunkt ikke kan defineres som en reelt værdisat tilfældig variabel. Også kovariansen E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

bliver uendelig, når t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}}}