Logaritmer af negative tal er ikke defineret i de reelle tal, på samme måde som kvadratrødder af negative tal ikke er defineret i de reelle tal. Hvis man forventes at finde logaritmen af et negativt tal, er et svar “udefineret” i de fleste tilfælde tilstrækkeligt.
Det er muligt at evaluere en sådan, men svaret vil være et komplekst tal. (et tal af formen #a + bi#, hvor #i = sqrt(-1)#)
Hvis du er bekendt med komplekse tal og føler dig tryg ved at arbejde med dem, så læs videre.
Først skal vi starte med et generelt tilfælde:
#log_b (-x) = ?#
Vi vil bruge reglen om ændring af basis og konvertere til naturlige logaritmer, for at gøre tingene lettere senere:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Bemærk, at #ln(-x)# er det samme som #ln(-1 * x)#. Vi kan udnytte logaritmernes additionsegenskab og adskille denne del i to separate logaritmer:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Nu er det eneste problem at finde ud af, hvad #ln(-1)# er. Det kan umiddelbart se ud som en umulig ting at evaluere, men der findes en ret berømt ligning kendt som Eulers Identitet, der kan hjælpe os.
Eulers Identitet siger:
#e^(ipi) = -1#
Dette resultat kommer fra potensrækkernes ekspansioner af sinus og cosinus. (Jeg vil ikke forklare det for indgående, men hvis du er interesseret, er der en fin side her, som forklarer lidt mere)
For nu tager vi blot den naturlige logaritme af begge sider af Eulers Identitet:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Simplificeret:
#ipi = ln(-1)#
Så nu, hvor vi ved, hvad #ln(-1)# er, kan vi indsætte det tilbage i vores ligning:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Nu har du en formel til at finde logaritmer af negative tal. Så hvis vi vil evaluere noget som #log_2 10#, kan vi blot sætte et par værdier ind:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#ca. 3,3219 + 4,5324i#