Hvad er det største tal i verden?

Hvis du nogensinde har spurgt, hvad det største tal er i en matematiktime, er der stor sandsynlighed for, at en kvik gnist har givet et svar i stil med: “Det er nemt! Det er selvfølgelig uendeligt!”

Det eneste problem med uendelighed er, at det ikke er et tal som sådan, som det fremgår af nedenstående samtale mellem to lysende gnister.

Den første lysende gnist:

Den første lysende gnist: “Uendelighed er det største tal i verden, det er nemt!”

Den anden lysende gnist: “Jeg har et større tal til dig – uendelighed plus et!”

Den anden lysende gnist: “Jeg har et større tal til dig – uendelighed plus et!”

Den første lysende gnist igen: “Jeg har et tal, der slår dit – uendelighed plus en plus en, gange en million!”

Samtalen fortsætter på denne måde i hvad der synes at være uendeligt lang tid, indtil ingen af de to lysende gnister er nået frem til verdens største tal.

Snart har de to lysende gnister indset, at uendelighed egentlig slet ikke er et tal, det er mere et begreb. Hvad ingen endnu har fortalt de to lysende gnister om den chokerende idé, at der findes forskellige størrelser af uendelighed! Så hvordan beregner vi det største tal?

Uendelighed af tællende tal

Den enkleste måde at skabe en mængde tal, der er uendelig i størrelse, er ved at tælle op i hele tal. Denne mængde af tal kaldes de naturlige tal, og den er naturligvis uendelig i størrelse, da vi kan fortsætte med at tælle i al evighed. Symbolet bruges til at mærke denne mængde, og det står for ‘naturlige tal’.

Lad os nu se på en anden liste af tal og kalde denne mængde (vores egen betegnelse):

Mængden er også uendelig i størrelse, men ser ud til at indeholde et tal mindre end . Er de af samme størrelse?

Vi kan vise, at og faktisk er af samme størrelse ved at vise, at der er en én til én korrespondance mellem elementerne i og elementerne i .

…

Hertil ville vi hidtil have sagt, at størrelsen af simpelthen var uendelig, hvilket skrives som et tal otte på sin side:.

Men vi er ved at finde ud af, at der findes forskellige størrelser af uendelighed, og derfor betegner vi nu størrelsen af som værende , der udtales som ‘aleph zero’. er den mindste størrelse af uendeligheden, og vores mængde har også størrelsen .

Andre mængder, der har størrelsen

Der er mange andre mængder af tal, der har den uendelige størrelse . Disse omfatter mængden af positive lige hele tal og også det, der er kendt som mængden af rationale tal. Rationelle tal er alle de tal, der kan skrives som brøker. Hvis en mængde af tal har størrelsen , siges den at være tællelig.

Vi kan skrive alle mulige brøker ned i en tabel som den nedenfor. Ækvivalente brøker kan forekomme mere end én gang, f.eks. , men vi kan nemt fjerne eventuelle gentagelser fra tabellen. Vi kan derefter tegne på et diagonalt mønster, som gør det muligt for os at sætte vores brøker ind i en liste. Vi står nu tilbage med en pæn liste over brøker …

Hvis vi har en liste over brøker, kan de tælles, og de rationelle tal siges derfor at være tællelige.

Hvordan finder vi en uendelig størrelse, der er større end?

Det er ikke alle tal, der kan skrives som en brøk. Tal, der ikke kan skrives som brøker, kaldes irrationale tal. Velkendte eksempler er og surder som og .

Den decimale ekspansion af irrationale tal som (3,1415926535…) fortsætter i det uendelige, og disse tal kan aldrig skrives som brøker, selv om folk gerne bruger som en tilnærmelse til .

Lad os nu se på mængden af alle tal, der ligger mellem 0 og 1. Denne mængde vil omfatte rationale tal som såvel som irrationale tal som Denne mængde af tal er tydeligvis uendelig stor, da vi altid kan tænke på flere og flere tal, der er indeholdt i intervallet (0,1).

I 1873 opfandt en tysk matematiker ved navn Georg Cantor et meget smart bevis for, at mængden af alle reelle tal i intervallet (0,1) har en størrelse, der er en større uendelighed end størrelsen af mængden af de naturlige tal .

Resumé af Cantors berømte diagonalargument.

Lad os antage, at størrelsen af mængden af alle reelle tal i intervallet (0,1) er lige så stor som . Vi kunne så lave en liste, der forsøger at tælle op gennem de reelle tal mellem 0 og 1. Den kunne se nogenlunde sådan ud, hvis vi ikke var meget logiske:

Cantors virkelig smarte næste skridt var at konstruere et nyt tal, der ikke er på listen. Cantors argument virker enten, hvis vi bruger en liste som ovenstående, eller selv hvis vi omhyggeligt forsøgte at lave en logisk liste, der forsøgte at fange alle tal mellem 0 og 1:

Cantors smarte måde at vælge et tal, der ikke er på listen.