8.3 Autoregressive modeller
I en multipel regressionsmodel forudsiger vi den pågældende variabel ved hjælp af en lineær kombination af prædiktorer. I en autoregressionsmodel forudsiger vi den pågældende variabel ved hjælp af en lineær kombination af tidligere værdier af variablen. Udtrykket autoregression angiver, at der er tale om en regression af variablen mod sig selv.
Sådan kan en autoregressiv model af orden \(p\) skrives som\hvor \(\varepsilon_t\) er hvid støj. Dette er som en multipel regression, men med forsinkede værdier af \(y_t\) som prædiktorer. Vi betegner dette som en AR(\(p\))-model, en autoregressiv model af orden \(p\).
Autoregressive modeller er bemærkelsesværdigt fleksible til at håndtere en lang række forskellige tidsseriemønstre. De to serier i figur 8.5 viser serier fra en AR(1)-model og en AR(2)-model. Ændring af parametrene \(\phi_1,\dots,\phi_p\) resulterer i forskellige tidsseriemønstre. Variansen af fejltermen \(\varepsilon_t\) ændrer kun seriens skala, men ikke mønstrene.
Figur 8.5: To eksempler på data fra autoregressive modeller med forskellige parametre. Til venstre: AR(1) med \(y_t = 18 -0,8y_{t-1} + \varepsilon_t\). Til højre: AR(2) med \(y_t = 8 + 1,3y_{t-1}-0,7y_{t-2}+\varepsilon_t\). I begge tilfælde er \(\varepsilon_t\) normalfordelt hvid støj med middelværdi nul og varians et.
For en AR(1)-model:
- når \(\(\phi_1=0\), svarer \(y_t\) til hvid støj;
- når \(\(\phi_1=1\) og \(c=0\), svarer \(y_t\) til en random walk;
- når \(\(\phi_1=1\) og \(c\ne0\), svarer \(y_t\) til en random walk med drift;
- når \(\(\phi_1<0\), har \(y_t\) tendens til at svinge omkring middelværdien.
Vi begrænser normalt autoregressive modeller til stationære data, i hvilket tilfælde der kræves nogle begrænsninger på parametrenes værdier.
- For en AR(1)-model: \(-1 < \phi_1 < 1\).
- For en AR(2)-model: \(-1 < \phi_2 < 1\), \(\phi_1+\phi_2 < 1\), \(\(\phi_2-\phi_1 < 1\).
Når \(p\ge3\), er restriktionerne meget mere komplicerede. R tager sig af disse restriktioner, når man estimerer en model.