Elektroner er et eksempel på en type partikel kaldet en fermion. Andre fermioner omfatter protoner og neutroner. Ud over deres ladning og masse har elektroner en anden grundlæggende egenskab kaldet spin. En partikel med spin opfører sig, som om den har en vis iboende vinkelbevægelse. Dette medfører, at hver elektron har en lille magnetisk dipol. Spinkvantetallet er projektionen langs en vilkårlig akse (i lærebøgerne normalt omtalt som z-aksen) af en partikels spin udtrykt i enheder af h. Elektroner har spin ½, som kan være rettet på to mulige måder, der normalt betegnes “spin op” eller “spin ned”.
Alle fermioner har et halvt heltals-spin. En partikel, der har heltals-spin, kaldes en boson. Fotoner, som har spin 1, er eksempler på bosoner. En konsekvens af fermioners halvt heltals-spin er, at dette pålægger en begrænsning på opførslen af et system, der indeholder mere end én fermion.
Denne begrænsning er Pauli-eksklusionsprincippet, som siger, at to fermioner ikke kan have nøjagtig samme sæt kvantetal. Det er af denne grund, at kun to elektroner kan besætte hvert elektronenerginiveau – den ene elektron kan have spin opad og den anden kan have spin nedad, så de har forskellige spinkvantetal, selv om elektronerne har samme energi.
Disse begrænsninger på opførslen af et system af mange fermioner kan behandles statistisk. Resultatet er, at elektronerne vil blive fordelt på de tilgængelige energiniveauer i overensstemmelse med Fermi-Dirac-fordelingen:
\
hvor f(ε) er besættelsessandsynligheden for en tilstand med energi ε, kB er Boltzmanns konstant, μ (det græske bogstav mu) er det kemiske potentiale, og T er temperaturen i Kelvin.
Fordelingen beskriver besættelsessandsynligheden for en kvantetilstand med energien E ved en temperatur T. Hvis energierne for de tilgængelige elektrontilstande og tilstandenes degeneration (antallet af elektroners energitilstande, der har samme energi) begge er kendt, kan denne fordeling bruges til at beregne termodynamiske egenskaber for systemer af elektroner.
Ved det absolutte nulpunkt er værdien af det kemiske potentiale, μ, defineret som Fermi-energien. Ved stuetemperatur er det kemiske potentiale for metaller stort set det samme som Fermi-energien – forskellen er typisk kun af størrelsesordenen 0,01 %. Det er ikke overraskende, at det kemiske potentiale for metaller ved stuetemperatur ofte opfattes som værende Fermi-energien. For en ren, udopet halvleder ved finite temperatur ligger det kemiske potentiale altid midtvejs mellem valensbåndet og ledningsbåndet. Som vi skal se i et efterfølgende afsnit af denne TLP, har det kemiske potentiale i extrinsiske (doterede) halvledere imidlertid en betydelig temperaturafhængighed.
For at forstå elektronernes opførsel ved finite temperatur kvalitativt i metaller og rene udopede halvledere er det klart tilstrækkeligt at behandle μ som en konstant i en første tilnærmelse. Med denne tilnærmelse kan Fermi-Dirac-fordelingen plottes ved flere forskellige temperaturer. I nedenstående figur er μ sat til 5 eV.
Fra denne figur er det tydeligt, at fordelingen ved det absolutte nulpunkt er en trinfunktion. Den har værdien 1 for energier under Fermi-energien og en værdi på 0 for energier over. Ved finite temperaturer bliver fordelingen udvisket, da nogle elektroner begynder at blive termisk exciteret til energiniveauer over det kemiske potentiale, μ. Figuren viser, at fordelingsfunktionen ved stuetemperatur stadig ikke er meget langt fra at være en trinfunktion.
forrige | næste