Logaritmos de números negativos no están definidos en los números reales, de la misma manera que las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en los números reales. Si se espera encontrar el logaritmo de un número negativo, una respuesta de «indefinido» es suficiente en la mayoría de los casos.
Es posible evaluar uno, sin embargo, la respuesta será un número complejo. (un número de la forma #a + bi#, donde #i = sqrt(-1)#)
Si estás familiarizado con los números complejos y te sientes cómodo trabajando con ellos, entonces sigue leyendo.
Primero, vamos a empezar con un caso general:
#log_b (-x) = ?
Utilizaremos la regla del cambio de base y convertiremos a logaritmos naturales, para facilitar las cosas más adelante:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Nótese que #ln(-x)# es lo mismo que #ln(-1 * x)#. Podemos explotar la propiedad de adición de los logaritmos, y separar esta parte en dos logaritmos distintos:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Ahora el único problema es averiguar qué es #ln(-1)#. Puede parecer algo imposible de evaluar al principio, pero hay una ecuación bastante famosa conocida como Identidad de Euler que puede ayudarnos.
La Identidad de Euler dice:
#e^(ipi) = -1#
Este resultado proviene de las expansiones en serie de potencias del seno y el coseno. (No lo explicaré demasiado a fondo, pero si te interesa, hay una bonita página aquí que lo explica un poco más)
Por ahora, tomemos simplemente el logaritmo natural de ambos lados de la Identidad de Euler:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Simplificado:
#ipi = ln(-1)#
Así que, ahora que sabemos lo que es #ln(-1)#, podemos volver a sustituir en nuestra ecuación:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Ahora tienes una fórmula para encontrar logaritmos de números negativos. Así, si queremos evaluar algo como #log_2 10#, podemos simplemente introducir algunos valores:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#aproximadamente 3,3219 + 4,5324i#