8.3 Modelos autorregresivos
En un modelo de regresión múltiple, pronosticamos la variable de interés utilizando una combinación lineal de predictores. En un modelo de autorregresión, pronosticamos la variable de interés utilizando una combinación lineal de valores pasados de la variable. El término autoregresión indica que se trata de una regresión de la variable contra sí misma.
Por lo tanto, un modelo autorregresivo de orden \(p\) puede escribirse como \ donde \(\varepsilon_t\) es ruido blanco. Esto es como una regresión múltiple pero con valores retardados de \(y_t\) como predictores. Nos referimos a esto como un modelo AR(\\️), un modelo autorregresivo de orden \️.
Los modelos autorregresivos son notablemente flexibles en el manejo de una amplia gama de diferentes patrones de series de tiempo. Las dos series de la figura 8.5 muestran series de un modelo AR(1) y un modelo AR(2). Si se cambian los parámetros \ (\phi_1,\dots,\phi_p\) se obtienen diferentes patrones de series temporales. La varianza del término de error \(\varepsilon_t\) sólo cambiará la escala de la serie, no los patrones.
Figura 8.5: Dos ejemplos de datos de modelos autorregresivos con diferentes parámetros. Izquierda: AR(1) con \(y_t = 18 -0,8y_{t-1} + \varepsilon_t\). A la derecha: AR(2) con \(y_t = 8 + 1,3y_{t-1}-0,7y_{t-2}+\varepsilon_t\). En ambos casos, \(\varepsilon_t\) es ruido blanco normalmente distribuido con media cero y varianza uno.
Para un modelo AR(1):
- Cuando \(\phi_1=0\), \(y_t\) es equivalente a ruido blanco;
- Cuando \(\phi_1=1\) y \(c=0\), \(y_t\) es equivalente a un paseo aleatorio;
- cuando \(\phi_1=1\) y \(c\ne0\), \(y_t\) es equivalente a un paseo aleatorio con deriva;
- cuando \(\phi_1<0\), \(y_t\) tiende a oscilar alrededor de la media.
Normalmente restringimos los modelos autorregresivos a los datos estacionarios, en cuyo caso se requieren algunas restricciones sobre los valores de los parámetros.
- Para un modelo AR(1): \(-1 < \phi_1 < 1\).
- Para un modelo AR(2): \(-1 < \phi_2 < 1\), \(\phi_1+\phi_2 < 1\), \(\phi_2-\phi_1 < 1\).
Cuando \(p\ge3\), las restricciones son mucho más complicadas. R se encarga de estas restricciones al estimar un modelo.