Hay dos artículos separados en este archivo: «¿Cómo sabemos de las matemáticas griegas?» y «¿Cómo sabemos de los matemáticos griegos?». Existe la creencia común de que la pregunta planteada en este artículo, sobre las matemáticas griegas y no sobre los matemáticos griegos, es fácil de responder. Tal vez lo único que haya que hacer para responderla sea leer los tratados matemáticos que escribieron los matemáticos griegos. Podríamos pensar, muy ingenuamente, que aunque algunos de los textos originales se han perdido, deberían quedar bastantes para que pudiéramos hacernos una idea excelente de las matemáticas griegas.
La verdad, sin embargo, no es tan sencilla, y vamos a ilustrar la forma en que los textos matemáticos griegos han llegado hasta nosotros observando primero el ejemplo quizá más famoso, a saber, los Elementos de Euclides. Cuando leemos los Trece Libros de los Elementos de Euclides de Heath, ¿estamos leyendo una traducción al inglés de las palabras que Euclides escribió en el año 300 a.C.? Para responder a esta pregunta tenemos que examinar el modo en que los Elementos han llegado hasta nosotros y, en general, cómo se han conservado los escritos de los antiguos matemáticos griegos.
De forma bastante sorprendente, de la época anterior de las matemáticas babilónicas sobreviven textos originales. Los babilonios escribían en tablillas de arcilla sin cocer, utilizando la escritura cuneiforme. Los símbolos se presionaban en tablillas de arcilla blanda con el borde inclinado de un estilete, por lo que tenían un aspecto en forma de cuña (y de ahí el nombre de cuneiforme). Se conservan muchas tablillas de alrededor del 1700 a.C. y podemos leer los textos originales. Sin embargo, los griegos empezaron a utilizar rollos de papiro para escribir sus obras.
El papiro procede de una planta parecida a la hierba que se cultiva en la región del delta del Nilo, en Egipto, y que ya se utilizaba como material de escritura en el año 3000 a.C. Sin embargo, los griegos no lo utilizaron hasta el año 450 a.C., ya que antes sólo tenían una tradición oral de transmisión de conocimientos a través de sus alumnos. A medida que se desarrollaban los registros escritos, también utilizaban tableros de madera y tablillas de cera para trabajos que no estaban destinados a ser permanentes. A veces, la escritura de esta época ha sobrevivido en ostraca, que son fragmentos de cerámica con inscripciones. Se supone que la primera copia de los Elementos se escribió en un rollo de papiro que, si fuera típico de estos rollos, tendría unos 10 metros de longitud. Estos rollos eran bastante frágiles y se rompían con facilidad, por lo que tendían a dañarse si se utilizaban mucho. Incluso si se dejaban intactos, se pudrían con bastante rapidez, salvo en condiciones climáticas especialmente secas como las que existen en Egipto. La única manera de preservar estas obras era haciendo nuevas copias con bastante frecuencia y, dado que esto era claramente una tarea de gran envergadura, sólo se hacía para los textos que se consideraban de gran importancia.
Es fácil ver, por tanto, por qué no ha sobrevivido ningún texto matemático griego completo más antiguo que los Elementos de Euclides. Los Elementos se consideraron una obra tan excelente que dejó obsoletos los textos matemáticos más antiguos, y nadie iba a seguir copiando estos textos más antiguos en nuevos rollos de papiro sólo para preservarlos con fines históricos. Los Elementos se copiaron continuamente, pero hay dos problemas distintos que ocurren cuando se copian obras como ésta. En primer lugar, pueden haber sido copiados por alguien que no tenía conocimientos técnicos del material que se estaba copiando. En este caso, se cometerían muchos errores en el proceso de copia (aunque, como veremos más adelante, esto puede ser utilizado por los historiadores en su beneficio). Por otro lado, la copia podría haber sido realizada por alguien con un conocimiento considerable que conociera los desarrollos posteriores de los temas descritos y, por lo tanto, podría haber añadido material que no estuviera en el texto original.
Desde el año 300 a.C. hasta que se desarrolló la forma de libro en códice, los Elementos deben haber sido copiados muchas veces. El códice consistía en hojas planas de material, dobladas y cosidas para producir algo mucho más reconocible como un libro. Los primeros códices estaban hechos de papiro, pero posteriormente se sustituyeron por vitela. Los códices empezaron a aparecer hacia el siglo II d.C., pero no fueron el vehículo principal de las obras hasta el siglo IV.
No sólo se produjeron avances en el material sobre el que se escribían las obras, sino también en la escritura que se utilizaba. En los rollos de papiro originales se escribía todo en mayúsculas y sin espacios entre las palabras. Se necesitaba mucho material para escribir relativamente poco y además era difícil de leer. La escritura minúscula, que se desarrolló hacia el año 800 d.C., estaba formada por letras minúsculas y era mucho más compacta y fácil de leer. Se inició un proceso de conversión de las antiguas escrituras mayúsculas sin espacio a minúsculas y gran parte de los escritos matemáticos que han sobrevivido lo han hecho porque se copiaron en este nuevo formato.
Ahora hemos llegado a la copia completa más antigua que se conserva de los Elementos escritos en minúscula en el año 888 d.C. Arethas, obispo de Cesarea de Capadocia (actualmente en el centro de Turquía), construyó una biblioteca de obras religiosas y matemáticas, y una de las ocho obras de esta biblioteca que han sobrevivido son los Elementos copiados por el escriba Stephanus para Arethas. El coste para Aretás fue de 14 piezas de oro, aproximadamente una quinta parte de lo que un escriba esperaba recibir en un año. Llamemos a este manuscrito de los Elementos de Euclides E888 para facilitar la referencia al mismo. Hay una serie de puntos que debemos señalar ahora:
ii) Aunque E888 es el texto completo más antiguo que se conserva de los Elementos, hay fragmentos más antiguos (véase, por ejemplo, y ). En 1906 se encontraron en la isla Elefantina seis fragmentos especialmente antiguos (que datan de alrededor del 225 a.C.) de lo que podrían ser partes del texto. Los expertos discuten si fueron escritos por alguien que estudiaba los Elementos o que examinaba un libro que Euclides incorporó a los Elementos.
iii) Algunos textos supervivientes que fueron escritos después de E888 se basan, sin embargo, en una versión de los Elementos anterior a E888.
iv) El manuscrito E888, como es típico de tales manuscritos, contiene anotaciones que fueron hechas en la copia anterior que el escriba Stephanus utilizó y copió en E888. También contiene anotaciones hechas por lectores posteriores.
v) La mayoría de los manuscritos de los Elementos que han sobrevivido se basan en una versión con comentarios y adiciones, producida por Teón de Alejandría (con la ayuda quizás de su hija Hipatia) en el siglo IV d.C. El E888 se basa efectivamente en la obra de Teón.
vi) Las primeras versiones de los Elementos que aparecieron en Europa en la Edad Media no fueron traducciones de ninguno de estos textos griegos al latín. En esta época no se conocía ningún texto griego de los Elementos y las únicas versiones de los Elementos eran las que se habían traducido al árabe.
vii) Cabe señalar que la razón que se aduce a menudo de que no hayan sobrevivido copias anteriores de los textos es que los árabes quemaron la biblioteca de Alejandría en el año 642 d.C. Sin embargo, parece que no es cierta la historia de que los árabes quemaron esta biblioteca, véase por ejemplo.
De hecho, la primera traducción al árabe fue realizada por al-Hajjaj a principios del siglo IX. Otra traducción de Hunayn fue revisada por Thabit ibn Qurra también en el siglo IX. Gherard de Cremona tradujo la versión de Thabit al latín en el siglo XII. Se conserva una traducción anterior al latín desde el árabe realizada por Adelard de Bath hacia 1120. Estas traducciones del árabe son todas de versiones que se remontan a la edición de Teón de Alejandría.
La relación entre las diferentes versiones de un gran número de manuscritos matemáticos griegos fue brillantemente elaborada por el erudito danés J L Heiberg a finales del siglo XIX. Sería imposible hacer justicia al trabajo erudito que supuso dicha tarea, pero al menos indicamos la forma en que se aborda. Si comparamos dos manuscritos AAA y BBB, digamos, y encontramos que los errores presentes en AAA también están presentes en BBB, pero hay algunos errores en BBB que no aparecen en AAA, entonces es razonable deducir que BBB fue copiado de AAA o que fue copiado de una copia de AAA. Si descubrimos que AAA y BBB tienen errores comunes pero también cada uno tiene errores propios, entonces es probable que tanto AAA como BBB fueran copiados de CCC. Si no ha sobrevivido ningún manuscrito que se ajuste al papel de CCC, entonces CCC puede reconstruirse a partir de AAA y BBB con cierto grado de certeza.
Usando métodos de este tipo, Heiberg demostró que todos los manuscritos supervivientes de los Elementos, excepto uno, derivaban de la edición de Teón de Alejandría. La única excepción se basaba en una versión del texto anterior a la edición de Teón, pero esta versión anterior era a su vez posterior a la versión en la que Teón debió basar su edición. Entre 1883 y 1888, Heiberg publicó una edición de los Elementos lo más parecida al original que pudo realizar (véase ). La edición de Heath de 1908 ( es una edición posterior de esta obra) se basó en la edición de Heiberg y contiene una descripción de los diferentes manuscritos que han sobrevivido.
Sólo hemos dado una breve indicación de la forma en que los Elementos han llegado hasta nosotros. Nos remitimos a y para una descripción detallada. Pasemos ahora a las obras del que quizá sea el más grande de los matemáticos griegos, Arquímedes.
William de Moerbeke (1215-1286) fue arzobispo de Corinto y un erudito clásico cuyas traducciones al latín de obras griegas desempeñaron un importante papel en la transmisión del conocimiento griego a la Europa medieval. Tenía dos manuscritos griegos de las obras de Arquímedes y a partir de ellos realizó sus traducciones al latín. El primero de los dos manuscritos griegos no se ha visto desde 1311, cuando presumiblemente fue destruido. El segundo manuscrito sobrevivió más tiempo y seguramente estuvo presente hasta el siglo XVI, cuando también desapareció. En los años transcurridos entre el momento en que Guillermo de Moerbeke hizo su traducción al latín y su desaparición, este segundo manuscrito fue copiado varias veces y algunas de estas copias sobreviven. Hasta 1899 Heiberg no había encontrado ninguna fuente de las obras de Arquímedes que no se basara en las traducciones al latín de Guillermo de Moerbeke o en las copias del segundo manuscrito griego que utilizó en su traducción.
En 1899 se produjo un acontecimiento excepcionalmente importante para nuestro conocimiento de las obras de Arquímedes. Un palimpsesto de Arquímedes figuraba en un catálogo de 890 obras de la biblioteca del Metochion del Santo Sepulcro de Estambul. En 1906, Heiberg pudo empezar a examinar el palimpsesto de Arquímedes en Estambul. ¿Qué examinaba Heiberg exactamente? Un palimpsesto es un texto que ha sido lavado para poder escribir otro texto encima. Se dice que el texto subyacente, en este caso las obras de Arquímedes, está «en palimpsesto». Las dos razones principales para hacer esto eran o bien el coste, era más barato reutilizar un pergamino viejo en lugar de comprar uno nuevo, o bien a menudo se destruían deliberadamente los textos griegos, ya que algunos cristianos consideraban un acto sagrado destruir un texto pagano y sustituirlo por uno cristiano.
El palimpsesto de Arquímedes había sido copiado en el siglo X por un monje en un monasterio ortodoxo griego de Constantinopla. Luego, en el siglo XII, el pergamino había sido lavado y se habían escrito textos religiosos encima. Originalmente las páginas eran de unos 30 por 20 centímetros, pero cuando se reutilizaron se doblaron por la mitad para hacer un libro de 20 por 15 centímetros con 174 páginas. Por supuesto, esto implicaba escribir los nuevos textos en ángulo recto con el texto de Arquímedes y, al estar encuadernado como un libro, parte del texto de Arquímedes estaba en el lomo del «nuevo» libro del siglo XII. Para dificultar aún más la tarea de Heiberg, las páginas del texto de Arquímedes se habían utilizado en un orden arbitrario al hacer el nuevo libro. Sin embargo, Heiberg contaba con todos los conocimientos necesarios para hacer frente a estos problemas.
¿Qué encontró Heiberg? El palimpsesto contenía cuatro obras de Arquímedes que ya se conocían, pero las versiones del palimpsesto eran independientes de los dos manuscritos perdidos utilizados por Guillermo de Moerbeke en sus traducciones al latín. Se trata de un hallazgo apasionante para los estudiosos que desean conocer mejor el contenido original de la obra de Arquímedes. Y lo que es mejor, el palimpsesto también contenía un texto de Sobre los cuerpos flotantes que hasta entonces sólo se conocía a través de traducciones al latín. Pero lo mejor de todo es que en el palimpsesto se encontró una obra de Arquímedes de la que no se conocía ninguna copia en ningún idioma antes de que Heiberg estudiara el palimpsesto. Se trataba del importantísimo Método de los teoremas mecánicos que describimos en la biografía de Arquímedes.
Heiberg publicó su reconstrucción de las obras de Arquímedes encontradas en el palimpsesto mientras el propio palimpsesto permanecía en el monasterio de Estambul. Sin embargo, antes de que se publicara la nueva edición de las obras de Arquímedes de Heiberg, que incorporaba estos notables nuevos descubrimientos, la región se vio inmersa en la guerra junto con el resto de Europa. Durante la Primera Guerra Mundial, los aliados planeaban dividir el imperio otomano, pero Mustafa Kemal, más tarde conocido como Atatürk, tenía otras ideas. Atatürk se enfrentó a levantamientos locales, a las fuerzas oficiales otomanas opuestas a él y a las fuerzas armadas griegas. Sin embargo, Turquía fue declarada nación soberana en enero de 1921 pero, ese mismo año, los ejércitos griegos realizaron importantes avances hasta casi alcanzar Ankara. La supervivencia de la biblioteca del Metochion del Santo Sepulcro en Estambul no podía garantizarse en medio de los combates, y el jefe de la Iglesia Ortodoxa Griega pidió que los libros de la biblioteca se enviaran a la Biblioteca Nacional de Grecia para garantizar su seguridad. De las 890 obras de la biblioteca, sólo 823 llegaron a la Biblioteca Nacional de Grecia y el palimpsesto de Arquímedes no estaba entre ellas.
No está claro qué pasó exactamente con el palimpsesto de Arquímedes. Al parecer, estuvo en manos de un coleccionista francés desconocido a partir de la década de 1920, aunque el palimpsesto permaneció oficialmente perdido y la mayoría de la gente asumió que había sido destruido. Es posible que el coleccionista francés lo haya vendido hace poco, pero lo único que sabemos con certeza es que el palimpsesto apareció en una subasta de Christie’s en Nueva York en 1998 vendido por encargo de un vendedor anónimo. Se expuso con el lomo abierto para revelar todo el texto original que había en el lomo cuando fue examinado por Heiberg. Se vendió a un comprador anónimo por 2 millones de dólares el 29 de octubre de 1998, pero el nuevo propietario ha accedido a ponerlo a disposición de la investigación académica.
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Siguen existiendo varios misterios sobre el palimpsesto, además de quién es su actual propietario:
¿Quién fue el propietario del palimpsesto durante los años 1922 a 1998?
El palimpsesto tenía varios iconos cuando fue expuesto por Christie’s en Nueva York en 1998, pero Heiberg no había mencionado ningún icono en la obra. ¿Los iconos fueron añadidos por uno de sus propietarios para intentar aumentar su valor?
Los diagramas que se ven en la versión de Sobre los cuerpos flotantes en el palimpsesto son diferentes a los de la traducción de Guillermo de Moerbeke. Más extrañamente son diferentes de los que aparecen en la versión de Heiberg de Sobre los cuerpos flotantes en la que tiene el texto del palimpsesto. ¿De dónde proceden los diagramas elaborados por Heiberg si no es del palimpsesto?