Leyes de potencia: Cómo las relaciones no lineales amplifican los resultados

Definiendo una ley de potencia

Considere a una persona que comienza a levantar pesas por primera vez.

Durante sus sesiones iniciales, sólo puede levantar una pequeña cantidad de peso. Pero a medida que invierten más tiempo, descubren que en cada sesión de entrenamiento, su fuerza aumenta de forma sorprendente.

Durante un tiempo, consiguen grandes mejoras. Sin embargo, con el tiempo, su progreso se ralentiza. Al principio, podían aumentar su fuerza hasta un 10% por sesión; ahora tardan meses en mejorar incluso un 1%. Tal vez recurran a tomar drogas para mejorar el rendimiento o a entrenar más a menudo. Su motivación se ve mermada, y se encuentran con que se lesionan, sin ningún cambio real en la cantidad de peso que pueden levantar.

Ahora, imaginemos que nuestro frustrado levantador de pesas decide dedicarse a correr. Ocurre algo parecido. Aunque las primeras carreras son increíblemente difíciles, la resistencia de la persona aumenta rápidamente con el paso de cada semana, hasta que se nivela y los rendimientos decrecientes vuelven a aparecer.

Ambas situaciones son ejemplos de leyes de potencia: una relación entre dos cosas en la que un cambio en una de ellas puede provocar un gran cambio en la otra, independientemente de las cantidades iniciales. En ambos ejemplos, una pequeña inversión de tiempo al principio del esfuerzo conduce a un gran aumento del rendimiento.

Las leyes de potencia son interesantes porque revelan correlaciones sorprendentes entre factores dispares. Como modelo mental, las leyes de potencia son versátiles, con numerosas aplicaciones en diferentes campos del conocimiento.

Si algunas partes de este post parecen intimidantes para los no matemáticos, tened paciencia. Entender las matemáticas que hay detrás de las leyes de potencia merece la pena para comprender sus numerosas aplicaciones. Invierta un poco de tiempo en leer esto y coseche el valor – ¡que es en sí mismo un ejemplo de una ley de potencia!

Una ley de potencia se representa a menudo por una ecuación con un exponente:

Y=MX^B

Cada letra representa un número. Y es una función (el resultado); X es la variable (lo que se puede cambiar); B es el orden de escala (el exponente), y M es una constante (que no cambia).

Si M es igual a 1, la ecuación es entonces Y=X^B. Si B=2, la ecuación se convierte en Y=X^2 (Y=X al cuadrado). Si X es 1, Y también es 1. Pero si X=2, entonces Y=4; si X=3, entonces Y=9, y así sucesivamente. Un pequeño cambio en el valor de X conduce a un cambio proporcionalmente grande en el valor de Y.

B=1 se conoce como la ley de escala lineal.

Para duplicar una receta de pastel, se necesita el doble de harina. Para conducir el doble de distancia se necesitará el doble de tiempo. (A no ser que tengas niños, en cuyo caso tendrás que tener en cuenta las pausas para ir al baño, que aparentemente tienen poco que ver con la distancia). Las relaciones lineales, en las que el doble de grande requiere el doble de grande, son simples e intuitivas.

Las relaciones no lineales son más complicadas. En estos casos, no se necesita el doble del valor original para obtener el doble de incremento en alguna característica medible. Por ejemplo, un animal que tiene el doble de nuestro tamaño sólo necesita un 75% más de comida que nosotros. Esto significa que, por unidad de tamaño, los animales más grandes son más eficientes energéticamente que los más pequeños. A medida que los animales son más grandes, la energía necesaria para mantener cada unidad disminuye.

Una de las características de un sistema complejo es que el comportamiento del sistema difiere de la simple suma de sus partes. Esta característica se denomina comportamiento emergente. «En muchos casos», escribe Geoffrey West en Scale: Las leyes universales del crecimiento, la innovación, la sostenibilidad y el ritmo de la vida en los organismos, las ciudades, las economías y las empresas, «el conjunto parece adquirir una vida propia, casi disociada de las características específicas de sus componentes individuales.»

Este resultado colectivo, en el que un sistema manifiesta características significativamente diferentes de las que resultan de la simple suma de todas las contribuciones de sus partes constituyentes individuales, se denomina comportamiento emergente.

Cuando nos proponemos entender un sistema complejo, nuestra intuición nos dice que lo descompongamos en sus piezas componentes. Pero eso es pensamiento lineal y explica por qué gran parte de nuestro pensamiento sobre la complejidad se queda corto. Los pequeños cambios en un sistema complejo pueden provocar cambios repentinos y grandes. Los pequeños cambios causan cascadas entre las partes conectadas, como derribar la primera ficha de dominó de una larga fila.

Volvamos al ejemplo de nuestro hipotético levantador de pesas convertido en corredor. A medida que se dedique más tiempo a la carrera, surgirán naturalmente restricciones en su progreso.

Recordemos nuestra ecuación exponencial: Y=MX^B. Intenta aplicarla al corredor. (Vamos a simplificar la carrera, pero quédate con ella.)

Y es la distancia que el corredor puede recorrer antes de agotarse. Eso es lo que estamos tratando de calcular. M, la constante, representa su capacidad para correr: una combinación de su dotación natural y su historial de entrenamiento. (Piénsalo así: El campeón olímpico Usain Bolt tiene una alta M; el director de cine Woody Allen tiene una baja M.)

Eso nos deja con el término final: X^B. La variable X representa la cosa sobre la que tenemos control: en este caso, nuestro kilometraje de entrenamiento. Si B, el exponente, está entre 0 y 1, entonces la relación entre X e Y -entre el kilometraje de entrenamiento y la resistencia- se vuelve progresivamente menos proporcional. Basta con introducir algunos números para ver el efecto.

Pongamos M en 1 para simplificar. Si B=0,5 y X=4, entonces Y=2. Cuatro millas en la carretera le dan al atleta la capacidad de correr dos millas a la vez.

Aumentar X a 16, y Y aumenta sólo a 4. El corredor tiene que poner en cuatro veces el kilometraje de la carretera para simplemente duplicar su resistencia al correr.

Aquí está el truco: Tanto en la carrera como en el levantamiento de pesas, a medida que aumentamos X, es probable que el exponente B disminuya. Cuadruplicar nuestro kilometraje de entrenamiento de 16 a 64 millas es poco probable que duplique nuestra resistencia de nuevo. Podría ser necesario un aumento de 10 veces en el kilometraje para hacerlo. Con el tiempo, la relación entre el kilometraje de entrenamiento y la resistencia será casi infinita.

Conocemos este estado, por supuesto, como rendimientos decrecientes: el punto en el que más entrada produce progresivamente menos salida. No sólo la relación entre el kilometraje de entrenamiento y la resistencia no es lineal para empezar, sino que también se vuelve menos lineal a medida que aumentamos nuestro entrenamiento.

¿Y qué pasa con los exponentes negativos?

Se vuelve aún más interesante. Si B=-0,5 y X=4, entonces Y=0,5. Cuatro millas en el camino nos da media milla de resistencia. Si se aumenta X a 16, Y disminuye a 0,25. A más entrenamiento, menos resistencia. Esto se parece a alguien que hace demasiados kilómetros, demasiado pronto: el entrenamiento es menos útil y las lesiones se acumulan.

Con los números negativos, cuanto más aumenta X, más se reduce Y. Esta relación se conoce como ley de potencia inversa. B=-2, por ejemplo, se conoce como la ley del cuadrado inverso y es una ecuación importante en física.

La relación entre la gravedad y la distancia sigue una ley de potencia inversa. G es la constante gravitacional; es la constante de la ley de la gravitación de Newton, que relaciona la gravedad con las masas y la separación de las partículas, igual a:

6,67 × 10-11 N m2 kg-2

Cualquier fuerza que irradie desde un mismo punto -incluyendo el calor, la intensidad de la luz y las fuerzas magnéticas y eléctricas- sigue la ley del cuadrado inverso. A 1 m de distancia de un fuego, se siente 4 veces más calor que a 2 m, y así sucesivamente.

Leyes de potencia de orden superior

Cuando B es un número entero positivo (un número entero mayor que cero), existen nombres para las leyes de potencia.

Cuando B es igual a 1, tenemos una relación lineal, como hemos comentado anteriormente. Esto también se conoce como ley de potencia de primer orden.

Las cosas se ponen realmente interesantes después de eso.

Cuando B es 2, tenemos una ley de potencia de segundo orden. Un gran ejemplo de esto es la energía cinética. Energía cinética = 1/2 mv^2

Cuando B es 3, tenemos una ley de potencia de tercer orden. Un ejemplo de esto es la potencia convertida del viento en energía rotacional.

Potencia disponible = ½ (Densidad del aire)( πr^2)(Velocidad del viento^3)(Coeficiente de potencia)

(Aquí hay un límite natural. Albert Betz concluyó en 1919 que las turbinas eólicas no pueden convertir más del 59,3% de la energía cinética del viento en energía mecánica. Este número se denomina Límite de Betz y representa el coeficiente de potencia anterior.)

La ley de la radiación térmica es una ley de potencia de cuarto orden. Derivada primero por el físico austriaco Josef Stefan en 1879 y por separado por el físico austriaco Ludwig Boltzmann, la ley funciona así: la energía calorífica radiante emitida desde una unidad de superficie en un segundo es igual a la constante de proporcionalidad (la constante de Stefan-Boltzmann) por la temperatura absoluta a la cuarta potencia.

Sólo existe una ley de potencia con un exponente variable, y se considera una de las fuerzas más poderosas del universo. También es la más incomprendida. La llamamos «compounding». La fórmula es la siguiente:

Valor futuro = (Valor actual)(1+i)^n

donde i es el tipo de interés, y n es el número de años.

A diferencia de las otras ecuaciones, la relación entre X e Y es potencialmente ilimitada. Mientras B sea positivo, Y aumentará a medida que lo haga X.

Las leyes de potencia no enteras (en las que B es una fracción, como en el ejemplo anterior) también son de gran utilidad para los físicos. Las fórmulas en las que B=0,5 son comunes.

Imagina un coche conduciendo a cierta velocidad. Se aplica una ley de potencia no entera. V es la velocidad del coche, P es la gasolina quemada por segundo para alcanzar esa velocidad y A es la resistencia del aire. Para que el coche vaya el doble de rápido, debe usar 4 veces más gasolina, y para ir 3 veces más rápido, debe usar 9 veces más gasolina. La resistencia del aire aumenta a medida que aumenta la velocidad, y por eso los coches más rápidos utilizan cantidades tan ridículas de gasolina. Podría parecer lógico pensar que un coche que pasa de 64 kilómetros por hora a 80 kilómetros por hora consumiría una cuarta parte más de combustible. Sin embargo, esto es incorrecto, porque la relación entre la resistencia del aire y la velocidad es en sí misma una ley de potencia.

Otro ejemplo de ley de potencia es el área de un cuadrado. Si se duplica la longitud de dos lados paralelos, el área se cuadruplica. Si se hace lo mismo con un cubo en 3D, el área se multiplica por ocho. No importa que la longitud del cuadrado haya pasado de 1 cm a 2 cm, o de 100 m a 200 m; el área sigue cuadruplicándose. Todos estamos familiarizados con las leyes de potencia de segundo orden (o cuadradas). Este nombre proviene de los cuadrados, ya que la relación entre la longitud y el área refleja la forma en que las leyes de potencia de segundo orden modifican un número. Las leyes de potencia de tercer orden (o cúbicas) reciben el mismo nombre debido a su relación con los cubos.

Uso de las leyes de potencia en nuestras vidas

Ahora que hemos superado la parte complicada, echemos un vistazo a cómo las leyes de potencia aparecen en muchos campos del conocimiento. La mayoría de las carreras implican su comprensión, aunque no sea tan evidente.

El poder detrás de la capitalización

La capitalización es uno de nuestros modelos mentales más importantes y es absolutamente vital para entender la inversión, el desarrollo personal, el aprendizaje y otras áreas cruciales de la vida.

En economía, calculamos el interés compuesto utilizando una ecuación con estas variables: P es la suma original de dinero. P’ es la suma de dinero resultante, r es el tipo de interés anual, n es la frecuencia de la capitalización y t es la duración del tiempo. Utilizando una ecuación, podemos ilustrar el poder de la capitalización.

Si una persona deposita 1.000 dólares en un banco durante cinco años, a un tipo de interés trimestral del 4%, la ecuación es la siguiente:

Valor futuro = Valor actual * ((1 + Tipo de interés trimestral) ^ Número de trimestres)

Esta fórmula puede utilizarse para calcular cuánto dinero habrá en la cuenta después de cinco años. La respuesta es 2.220,20 dólares.

El interés compuesto es una ley de potencia porque la relación entre el tiempo que se deja una suma de dinero en una cuenta y la cantidad acumulada al final no es lineal.

En A Random Walk Down Wall Street, Burton Malkiel pone el ejemplo de dos hermanos, William y James. Empezando a los 20 años y dejando de hacerlo a los 40, William invierte 4.000 dólares al año. Mientras tanto, James invierte la misma cantidad al año entre los 40 y los 65 años. Cuando William tiene 65 años, ha invertido menos dinero que su hermano, pero lo ha dejado componer durante 25 años. Como resultado, cuando ambos hermanos se jubilan, William tiene un 600% más de dinero que James, una diferencia de 2 millones de dólares. Una de las decisiones financieras más inteligentes que podemos tomar es empezar a ahorrar lo antes posible: aprovechando las leyes de la potencia, aumentamos el exponente al máximo.

El interés compuesto puede ayudarnos a alcanzar la libertad financiera y la riqueza, sin necesidad de tener grandes ingresos anuales. Los miembros del movimiento de independencia financiera (como el bloguero Mr. Money Mustache) son ejemplos vivos de cómo podemos aplicar las leyes del poder a nuestras vidas.

Ya en el siglo XIX, Robert G. Ingersoll destacó la importancia del interés compuesto:

Un dólar a interés compuesto, al veinticuatro por ciento, durante cien años, produciría una suma igual a nuestra deuda nacional. El interés come noche y día, y cuanto más come, más hambre tiene. El agricultor endeudado, despierto por la noche, puede, si escucha, oírlo roer. Si no debe nada, puede oír cómo crece su maíz. Sal de las deudas lo antes posible. Ya ha apoyado la avaricia ociosa y la economía perezosa durante demasiado tiempo.

La compensación puede aplicarse a áreas más allá de las finanzas: desarrollo personal, salud, aprendizaje, relaciones y más. Para cada área, una pequeña entrada puede conducir a una gran salida, y los resultados se construyen sobre sí mismos.

Aprendizaje no lineal de idiomas

Cuando aprendemos un nuevo idioma, siempre es una buena idea empezar por aprender las 100 palabras más utilizadas.

En todos los idiomas conocidos, un pequeño porcentaje de palabras constituyen la mayoría del uso. Esto se conoce como la ley de Zipf, en honor a George Kingsley Zipf, quien identificó por primera vez el fenómeno. La palabra más utilizada en una lengua puede suponer hasta el 7% de todas las palabras utilizadas, mientras que la segunda palabra más utilizada se usa la mitad, y así sucesivamente. Unas 135 palabras pueden constituir la mitad de una lengua (tal y como la utilizan los hablantes nativos).

Se desconoce por qué es cierta la ley de Zipf, aunque el concepto es lógico. Muchas lenguas incluyen un gran número de términos especializados que rara vez se necesitan (incluidos los términos jurídicos o de anatomía). Un pequeño cambio en la clasificación de la frecuencia de una palabra supone un enorme cambio en su utilidad.

Entender la ley de Zipf es un componente central del aprendizaje acelerado de idiomas. Cada nueva palabra que aprendamos a partir de las 100 más comunes tendrá un enorme impacto en nuestra capacidad de comunicación. A medida que aprendemos palabras menos comunes, los rendimientos disminuyen. Si cada palabra de un idioma se enumerara por orden de frecuencia de uso, cuanto más bajáramos en la lista, menos útil sería.

Las leyes del poder en los negocios, explicadas por Peter Thiel

Peter Thiel, fundador de PayPal (además de uno de los primeros inversores en Facebook y Palantir), considera que las leyes del poder son un concepto crucial que todos los empresarios deben comprender. En su fantástico libro, Zero to One, Thiel escribe:

De hecho, el patrón más poderoso que he observado es que las personas de éxito encuentran valor en lugares inesperados, y lo hacen pensando en los negocios desde los primeros principios en lugar de las fórmulas.

Y:

En 1906, el economista Vilfredo Pareto descubrió lo que se convirtió en el «Principio de Pareto», o la regla del 80-20, cuando observó que el 20% de las personas poseían el 80% de la tierra en Italia, un fenómeno que le pareció tan natural como el hecho de que el 20% de los guisantes de su jardín produjeran el 80% de los guisantes. Este patrón extraordinariamente crudo, cuando unos pocos superan radicalmente a todos los rivales, nos rodea por todas partes en el mundo natural y social. Los terremotos más destructivos son muchas veces más potentes que todos los terremotos más pequeños juntos. Las mayores ciudades eclipsan a todos los pueblos juntos. Y las empresas monopolísticas capturan más valor que millones de competidores indiferenciados. Independientemente de lo que dijera o no Einstein, la ley de la potencia -así llamada porque las ecuaciones exponenciales describen distribuciones muy desiguales- es la ley del universo. Define nuestro entorno de forma tan completa que normalmente ni siquiera la vemos.

… n el capital riesgo, donde los inversores intentan beneficiarse del crecimiento exponencial de las empresas en fase inicial, unas pocas empresas alcanzan un valor exponencialmente mayor que todas las demás. … no vivimos en un mundo normal; vivimos bajo una ley de potencia.

… El mayor secreto del capital riesgo es que la mejor inversión de un fondo exitoso iguala o supera a todo el resto del fondo combinado.

Esto implica dos reglas muy extrañas para los VC. En primer lugar, sólo invierten en empresas que tienen el potencial de devolver el valor de todo el fondo. … Esto lleva a la regla número dos: como la regla número uno es tan restrictiva, no puede haber otras reglas.

…ife no es una cartera: no para un fundador de una startup, y no para cualquier individuo. Una emprendedora no puede «diversificarse»; no se pueden dirigir decenas de empresas al mismo tiempo y esperar que una de ellas funcione bien. Menos obvio, pero igual de importante, un individuo no puede diversificar su propia vida manteniendo docenas de carreras igualmente posibles en reserva.

Thiel imparte una clase llamada Startup en Stanford, en la que recalca el valor de entender las leyes del poder. En su clase, imparte abundante sabiduría. De las notas de Blake Masters sobre la clase 7:

Considere un fondo de riesgo prototípico de éxito. Un número de inversiones van a cero durante un período de tiempo. Éstas tienden a producirse antes que después. Las inversiones que tienen éxito lo hacen en una especie de curva exponencial. Si se suma a lo largo de la vida de una cartera, se obtiene una curva J. Las primeras inversiones fracasan. Hay que pagar gastos de gestión. Pero luego se produce el crecimiento exponencial, al menos en teoría. Como se empieza bajo el agua, la gran pregunta es cuándo se llega a la línea de flotación. Muchos fondos nunca llegan allí.

Para responder a esa gran pregunta hay que hacer otra: ¿cómo es la distribución de los rendimientos en los fondos de riesgo? La respuesta ingenua es simplemente clasificar las empresas de mejor a peor según su rentabilidad en múltiplo de dólares invertidos. La gente tiende a agrupar las inversiones en tres cubos. Las malas empresas van a cero. Las mediocres hacen quizás 1 vez, por lo que no se pierde ni se gana mucho. Y luego las grandes empresas hacen tal vez 3-10x.

Pero ese modelo pasa por alto la idea clave de que los rendimientos reales son increíblemente asimétricos. Cuanto más entienda un VC este patrón asimétrico, mejor será el VC. Los malos inversores tienden a pensar que la línea discontinua es plana, es decir, que todas las empresas son iguales y que algunas simplemente fracasan, giran o crecen. En realidad, se obtiene una distribución de ley de potencia.

Thiel explica cómo los inversores pueden aplicar el modelo mental de las leyes de potencia (más de los apuntes de Masters en la clase 7):

…Dada una gran distribución de ley de potencia, se quiere estar bastante concentrado. … Simplemente no hay muchos negocios sobre los que se pueda tener el alto grado de convicción requerido. Un mejor modelo es invertir en tal vez 7 u 8 empresas prometedoras de las que crees que puedes obtener un retorno de 10x. …

A pesar de estar arraigado en las matemáticas de la escuela secundaria, el pensamiento exponencial es difícil. Vivimos en un mundo en el que normalmente no experimentamos nada de forma exponencial. Nuestra experiencia vital general es bastante lineal. Subestimamos enormemente las cosas exponenciales.

También advierte que no hay que confiar demasiado en las leyes de potencia como estrategia (una afirmación que debería tenerse en cuenta para todos los modelos mentales). De las notas de Masters:

No hay que ser mecánico con esta heurística, ni tratarla como una estrategia de inversión inmutable. Pero en realidad se comprueba bastante bien, así que al menos te obliga a pensar en la distribución de la ley de la potencia.

Entender los exponentes y las distribuciones de la ley de la potencia no es sólo para entender la CV. También hay importantes aplicaciones personales. Muchas cosas, como las decisiones clave en la vida o la creación de empresas, también dan lugar a distribuciones similares.

Thiel explica a continuación por qué los fundadores deben centrarse en un flujo de ingresos clave, en lugar de tratar de construir varios iguales:

Incluso dentro de un negocio individual, probablemente hay una especie de ley de potencia en cuanto a lo que va a impulsarlo. Es preocupante si una startup insiste en que va a ganar dinero de muchas maneras diferentes. La distribución de la ley de potencia sobre los ingresos dice que una fuente de ingresos dominará todo lo demás.

Por ejemplo, si eres un emprendedor que abre una cafetería, tendrás muchas formas de ganar dinero. Puedes vender café, pasteles, pinturas, mercancía y más. Pero cada una de esas cosas no contribuirá a tu éxito de igual manera. Aunque el proceso de descubrimiento es valioso, una vez que hayas encontrado la variable que más importa, deberás dedicar más tiempo a esa y menos a las demás. No se puede exagerar la importancia de encontrar esta variable.

También reconoce que las leyes de potencia son uno de los grandes secretos del éxito de las inversiones. De las notas de Masters sobre la clase 11:

En un nivel, los secretos de la anticompetencia, la ley del poder y la distribución son todos secretos sobre la naturaleza. Pero también son secretos ocultos por la gente. Eso es crucial para recordar. Supongamos que estás haciendo un experimento en un laboratorio. Intentas descubrir un secreto natural. Pero cada noche, otra persona entra en el laboratorio y estropea tus resultados. No entenderás lo que ocurre si te limitas a pensar en la naturaleza. No basta con encontrar un experimento interesante y tratar de hacerlo. Tienes que entender la parte humana también.

… Sabemos que, por el secreto de la ley de potencia, las empresas no están distribuidas uniformemente. La distribución tiende a ser bimodal; hay algunas estupendas, y luego hay muchas que no funcionan en absoluto. Pero entender esto no es suficiente. Hay una gran diferencia entre entender el secreto de la ley de la potencia en teoría y ser capaz de aplicarlo en la práctica.

La clave de todos los modelos mentales es conocer los hechos y ser capaz de utilizar el concepto. Como dijo George Box, «todos los modelos son falsos pero algunos son útiles». Una vez que comprendemos lo básico, el mejor paso siguiente es empezar a averiguar cómo aplicarlo.

La metáfora de una persona invisible que sabotea los resultados del laboratorio es una excelente metáfora de cómo los sesgos cognitivos y los atajos nublan nuestro juicio.

Leyes de potencia naturales

Cualquier persona que haya tenido muchas mascotas se habrá dado cuenta de la relación que existe entre el tamaño de un animal y su vida útil. Los animales pequeños, como los ratones y los hámsters, suelen vivir uno o dos años. Los más grandes, como los perros y los gatos, pueden vivir entre 10 y 20 años, o incluso más en algunos casos. Subiendo de escala, aún más, algunas ballenas pueden vivir 200 años. Esto se reduce a leyes de potencia.

Los biólogos han encontrado vínculos claros entre el tamaño de un animal y su metabolismo. La ley de Kleiber (identificada por Max Kleiber) establece que la tasa metabólica de un animal aumenta en tres cuartas partes de la potencia del peso (masa) del animal. Si un conejo medio (2 kg) pesa cien veces más que un ratón medio (20 g), la tasa metabólica del conejo será 32 veces la del ratón. En otras palabras, la estructura del conejo es más eficiente. Todo se reduce a la geometría detrás de su masa.

Esto nos lleva a otra ley de potencia biológica: Los animales más pequeños requieren más energía por gramo de peso corporal, lo que significa que los ratones comen alrededor de la mitad de su peso corporal en alimentos densos cada día. La razón es que, en términos de porcentaje de masa, los animales más grandes tienen más estructura (huesos, etc.) y menos reservas (almacenes de grasa).

La investigación ha ilustrado cómo las leyes de potencia se aplican a la circulación sanguínea en los animales. Las unidades finales a través de las cuales el oxígeno, el agua y los nutrientes entran en las células desde el torrente sanguíneo tienen el mismo tamaño en todos los animales. Sólo varía el número por animal. La relación entre el área total de estas unidades y el tamaño del animal es una ley de potencia de tercer orden. La distancia que recorre la sangre para entrar en las células y el volumen real de sangre también están sujetos a leyes de potencia.

La ley de los rendimientos decrecientes

Como hemos visto, un pequeño cambio en un área puede provocar un enorme cambio en otra. Sin embargo, a partir de cierto punto, los rendimientos disminuyen y más es peor. Trabajar una hora más al día puede significar que se haga más, mientras que trabajar tres horas más probablemente conducirá a que se haga menos debido al agotamiento. Pasar de un estilo de vida sedentario a correr dos días a la semana puede mejorar mucho la salud, pero pasar a siete días a la semana provocará lesiones. El exceso de celo puede convertir un exponente positivo en uno negativo. En un restaurante de gran afluencia de público, contratar a un cocinero más significará poder servir a más gente, pero contratar a dos nuevos cocineros podría estropear el proverbial caldo.

Quizás el rendimiento decreciente más infravalorado, el que nunca queremos acabar en el lado equivocado, es el que existe entre el dinero y la felicidad.

En David y Goliat, Malcolm Gladwell analiza cómo los rendimientos decrecientes se relacionan con los ingresos familiares. La mayoría de las personas asumen que cuanto más dinero ganen, más felices serán ellos y sus familias. Esto es cierto, hasta cierto punto. Unos ingresos demasiado bajos para satisfacer las necesidades básicas hacen que la gente se sienta miserable, lo que conlleva muchos más problemas de salud física y mental. Una persona que pasa de ganar 30.000 dólares al año a ganar 40.000 dólares es probable que experimente un aumento espectacular de la felicidad. Sin embargo, pasar de 100.000 a 110.000 dólares conlleva un cambio insignificante en el bienestar.

Gladwell escribe:

Los estudiosos que investigan la felicidad sugieren que más dinero deja de hacer más feliz a la gente a partir de unos ingresos familiares de unos setenta y cinco mil dólares al año. A partir de ahí, se produce lo que los economistas llaman «rendimientos marginales decrecientes». Si tu familia gana setenta y cinco mil dólares y tu vecino gana cien mil, esos veinticinco mil dólares más al año significan que tu vecino puede conducir un coche más bonito y salir a comer un poco más a menudo. Pero no hace que tu vecino sea más feliz que tú, ni que esté mejor equipado para hacer las miles de pequeñas y grandes cosas que hacen que seas un buen padre.