Lógica Simbólica
Michael Genesereth
Departamento de Ciencias de la Computación
Universidad de Stanford
Aunque es posible enseñar Lógica utilizando sólo el idioma inglés, esto es problemático. Las oraciones del lenguaje natural pueden ser complejas; pueden ser ambiguas; y no entender el significado de una oración puede llevar a errores de razonamiento.
Incluso oraciones muy simples pueden ser problemáticas. Aquí vemos dos oraciones gramaticalmente legales. Son iguales en todo menos en la última palabra, pero su estructura es totalmente diferente. En la primera, el verbo principal es blossoms, mientras que en la segunda blossoms es un sustantivo y el verbo principal es sank.
The cherry blossoms in the Spring.
The cherry blossoms in the Spring sank.
Como otro ejemplo de complejidad gramatical, considere el siguiente extracto tomado del contrato de arrendamiento de la Universidad de Michigan. La frase en este caso es lo suficientemente larga y la estructura gramatical lo suficientemente compleja como para que la gente deba leerla a menudo varias veces para entender precisamente lo que dice.
La Universidad puede terminar este contrato de arrendamiento cuando el Arrendatario, habiendo hecho la solicitud y ejecutado este contrato de arrendamiento antes de la inscripción, no es elegible para inscribirse o no se inscribe en la Universidad o deja la Universidad en cualquier momento antes de la expiración de este contrato de arrendamiento, o por la violación de cualquiera de las disposiciones de este contrato de arrendamiento, o por la violación de cualquier reglamento de la Universidad en relación con los Pasillos de residentes, o por razones de salud, proporcionando al estudiante una notificación por escrito de esta terminación 30 días antes de la fecha efectiva de terminación, a menos que se ponga en peligro la vida, la integridad física o la propiedad, el Arrendatario se dedique a la venta o compra de sustancias controladas en violación de la ley federal, estatal o local, o el Arrendatario ya no esté inscrito como estudiante, o el Arrendatario se dedique al uso o posesión de armas de fuego, explosivos, líquidos inflamables, fuegos artificiales u otras armas peligrosas dentro del edificio, o se convierta en una falsa alarma, en cuyos casos será suficiente un aviso de 24 horas como máximo.
Como ejemplo de ambigüedad, supongamos que escribo la frase Hay una chica en la habitación con un telescopio. Vea en la figura 6 los dos posibles significados de esta frase. ¿Estoy diciendo que hay una chica en una habitación que contiene un telescopio? ¿O estoy diciendo que hay una chica en la habitación y que sostiene un telescopio?
Figura 6 – Hay una chica en la habitación con un telescopio.
Tales complejidades y ambigüedades pueden ser a veces humorísticas si llevan a interpretaciones que el autor no pretendía. Véanse en los ejemplos siguientes algunos titulares infames de periódicos con múltiples interpretaciones. El uso de un lenguaje formal elimina tales ambigüedades involuntarias (y, para bien o para mal, evita también cualquier humor involuntario).
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Las multitudes que se apresuran a ver al Papa aplastan a 6 hasta la muerte Journal Star, Peoria, 1980
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Pollo frito cocinado en microondas gana el viaje The Oregonian, Portland, 1981
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Como ilustración de los errores que surgen al razonar con oraciones en lenguaje natural, consideremos los siguientes ejemplos. En el primero, utilizamos la transitividad de la relación mejor para derivar una conclusión sobre la calidad relativa del champán y el refresco a partir de la calidad relativa del champán y la cerveza y la calidad relativa de la cerveza y el refresco. Hasta aquí todo bien.
El champán es mejor que la cerveza.
La cerveza es mejor que la gaseosa.
Por lo tanto, el champán es mejor que la gaseosa.
Ahora, considere lo que sucede cuando aplicamos la misma regla de transitividad en el caso ilustrado a continuación. La forma del argumento es la misma que antes, pero la conclusión es algo menos creíble. El problema en este caso es que el uso de nothing aquí es sintácticamente similar al uso de beer en el ejemplo anterior, pero en inglés significa algo completamente diferente.
El mal sexo es mejor que nada.
Nada es mejor que el buen sexo.
Por tanto, el mal sexo es mejor que el buen sexo.
La Lógica Simbólica elimina estas dificultades mediante el uso de un lenguaje formal para codificar la información. Dada la sintaxis y la semántica de este lenguaje formal, podemos dar una definición precisa de la noción de conclusión lógica. Además, podemos establecer reglas de razonamiento precisas que produzcan todas y sólo las conclusiones lógicas.
En este sentido, existe una fuerte analogía entre los métodos de la Lógica Formal y los del álgebra de la escuela secundaria. Para ilustrar esta analogía, considere el siguiente problema de álgebra.
Xavier es tres veces mayor que Yolanda. La edad de Xavier y la de Yolanda suman doce. ¿Qué edad tienen Xavier y Yolanda?
Típicamente, el primer paso para resolver un problema de este tipo es expresar la información en forma de ecuaciones. Si dejamos que x represente la edad de Xavier y que y represente la edad de Yolanda, podemos capturar la información esencial del problema como se muestra a continuación.
x – 3y = 0
x + y = 12
Usando los métodos del álgebra, podemos entonces manipular estas expresiones para resolver el problema. Primero restamos la segunda ecuación de la primera.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
A continuación, dividimos cada lado de la ecuación resultante entre -4 para obtener un valor para y. Luego, sustituyendo de nuevo en una de las ecuaciones anteriores, obtenemos un valor para x.
x = 9
y = 3
Ahora, considera el siguiente problema lógico.
Si María ama a Pat, entonces María ama a Quincy. Si es lunes y llueve, entonces María ama a Pat o a Quincy. Si es lunes y llueve, ¿ama María a Quincy?
Al igual que con el problema de álgebra, el primer paso es la formalización. Dejemos que p represente la posibilidad de que María ame a Pat; que q represente la posibilidad de que María ame a Quincy; que m represente la posibilidad de que sea lunes; y que r represente la posibilidad de que esté lloviendo.
Con estas abreviaturas, podemos representar la información esencial de este problema con las siguientes oraciones lógicas. La primera dice que p implica q, es decir, si María ama a Pat, entonces María ama a Quincy. La segunda dice que m y r implica p o q, es decir, si es lunes y llueve, entonces María ama a Pat o María ama a Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| p1 ∧ … ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ … ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Hay dos elaboraciones de esta operación. (1) Si una proposición a la izquierda de una frase es la misma que una proposición a la derecha de la otra frase, está bien soltar los dos símbolos, con la condición de que sólo se puede soltar un par de ellos. (2) Si una constante se repite en el mismo lado de una misma frase, se pueden eliminar todas las ocurrencias menos una.
Podemos utilizar esta operación para resolver el problema de la vida amorosa de María. Observando las dos premisas anteriores, nos damos cuenta de que p aparece en el lado izquierdo de una frase y en el lado derecho de la otra. En consecuencia, podemos cancelar la p y derivar así la conclusión de que, si es lunes y llueve, entonces María ama a Quincy o María ama a Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Tirando el símbolo repetido a la derecha, llegamos a la conclusión de que, si es lunes y llueve, entonces María ama a Quincy.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Este ejemplo es interesante porque muestra nuestro lenguaje formal para codificar información lógica. Al igual que con el álgebra, utilizamos símbolos para representar aspectos relevantes del mundo en cuestión, y utilizamos operadores para conectar estos símbolos con el fin de expresar información sobre las cosas que esos símbolos representan.
El ejemplo también introduce una de las operaciones más importantes en la Lógica Formal, a saber, la Resolución (en este caso una forma restringida de Resolución). La resolución tiene la propiedad de ser completa para una clase importante de problemas lógicos, es decir, es la única operación necesaria para resolver cualquier problema de la clase.