Infinito

Infinitos matemáticos

Los antiguos griegos expresaban el infinito con la palabra apeiron, que tenía connotaciones de ser ilimitado, indefinido, no definido y sin forma. Una de las primeras apariciones del infinito en las matemáticas se refiere a la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado. Pitágoras (c. 580-500 a.C.) y sus seguidores creían inicialmente que cualquier aspecto del mundo podía expresarse mediante una disposición que incluyera sólo los números enteros (0, 1, 2, 3,…), pero se sorprendieron al descubrir que la diagonal y el lado de un cuadrado son inconmensurables, es decir, que sus longitudes no pueden expresarse como múltiplos de números enteros de ninguna unidad compartida (o vara de medir). En la matemática moderna este descubrimiento se expresa diciendo que el cociente es irracional y que es el límite de una serie decimal interminable y no repetitiva. En el caso de un cuadrado con lados de longitud 1, la diagonal es la raíz cuadrada de√2, escrita como 1,414213562…, donde la elipsis (…) indica una secuencia interminable de dígitos sin patrón.

Tanto Platón (428/427-348/347 a.C.) como Aristóteles (384-322 a.C.) compartían el aborrecimiento general griego de la noción de infinito. Aristóteles influyó en el pensamiento posterior durante más de un milenio con su rechazo al infinito «real» (espacial, temporal o numérico), que distinguía del infinito «potencial» de poder contar sin fin. Para evitar el uso del infinito real, Eudoxo de Cnidus (c. 400-350 a.C.) y Arquímedes (c. 285-212/211 a.C.) desarrollaron una técnica, más tarde conocida como método de agotamiento, por la que se calculaba un área reduciendo a la mitad la unidad de medida en etapas sucesivas hasta que el área restante era inferior a algún valor fijo (la región restante se había «agotado»).

La cuestión de los números infinitamente pequeños condujo al descubrimiento del cálculo a finales del siglo XVII por el matemático inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton introdujo su propia teoría de los números infinitamente pequeños, o infinitesimales, para justificar el cálculo de las derivadas, o pendientes. Para hallar la pendiente (es decir, el cambio en y sobre el cambio en x) de una línea que toca una curva en un punto dado (x, y), encontró útil observar la relación entre dy y dx, donde dy es un cambio infinitesimal en y producido por el desplazamiento de una cantidad infinitesimal dx desde x. Los infinitesimales fueron muy criticados, y gran parte de la historia temprana del análisis giró en torno a los esfuerzos por encontrar un fundamento alternativo y riguroso para el tema. El uso de los números infinitesimales finalmente se afianzó con el desarrollo del análisis no estándar por el matemático de origen alemán Abraham Robinson en la década de 1960.

Un uso más directo del infinito en matemáticas surge con los esfuerzos para comparar los tamaños de conjuntos infinitos, como el conjunto de puntos sobre una línea (números reales) o el conjunto de números para contar. Los matemáticos se dan cuenta rápidamente de que las intuiciones ordinarias sobre los números son engañosas cuando se habla de tamaños infinitos. Los pensadores medievales eran conscientes del hecho paradójico de que segmentos de línea de longitudes diferentes parecían tener el mismo número de puntos. Por ejemplo, dibujemos dos círculos concéntricos, uno de ellos con el doble de radio (y, por tanto, con el doble de circunferencia) que el otro, como se muestra en la figura. Sorprendentemente, cada punto P del círculo exterior puede emparejarse con un único punto P′ del círculo interior trazando una línea desde su centro común O hasta P y etiquetando su intersección con el círculo interior P′. La intuición sugiere que el círculo exterior debería tener el doble de puntos que el círculo interior, pero en este caso el infinito parece ser lo mismo que el doble de infinito. A principios del siglo XVII, el científico italiano Galileo Galilei abordó esta cuestión y un resultado no intuitivo similar que ahora se conoce como la paradoja de Galileo. Galileo demostró que el conjunto de los números de la cuenta podía ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto, aparentemente mucho más pequeño, de sus cuadrados. Del mismo modo, demostró que el conjunto de los números contados y sus dobles (es decir, el conjunto de los números pares) podían emparejarse. Galileo llegó a la conclusión de que «no podemos hablar de cantidades infinitas como si fueran mayores o menores o iguales que otras». Tales ejemplos llevaron al matemático alemán Richard Dedekind en 1872 a sugerir una definición de un conjunto infinito como aquel que podía ponerse en relación uno a uno con algún subconjunto propio.

La confusión sobre los números infinitos fue resuelta por el matemático alemán Georg Cantor a partir de 1873. En primer lugar, Cantor demostró rigurosamente que el conjunto de los números racionales (fracciones) tiene el mismo tamaño que los números contables; de ahí que se les llame contables, o denumerables. Por supuesto, esto no supuso ninguna sorpresa, pero ese mismo año Cantor demostró el sorprendente resultado de que no todos los infinitos son iguales. Utilizando el llamado «argumento diagonal», Cantor demostró que el tamaño de los números contables es estrictamente menor que el de los números reales. Este resultado se conoce como teorema de Cantor.

Para comparar conjuntos, Cantor distinguió primero entre un conjunto concreto y la noción abstracta de su tamaño, o cardinalidad. A diferencia de un conjunto finito, un conjunto infinito puede tener la misma cardinalidad que un subconjunto propio de sí mismo. Cantor utilizó un argumento diagonal para demostrar que la cardinalidad de cualquier conjunto debe ser menor que la cardinalidad de su conjunto potencia, es decir, el conjunto que contiene todos los subconjuntos posibles del conjunto dado. En general, un conjunto con n elementos tiene un conjunto potencia con 2n elementos, y estas dos cardinalidades son diferentes incluso cuando n es infinito. Cantor llamó a los tamaños de sus conjuntos infinitos «cardinales transfinitos». Sus argumentos demostraron que hay cardinales transfinitos de infinitos tamaños diferentes (como los cardinales del conjunto de los números de contar y del conjunto de los números reales).

Los cardinales transfinitos incluyen el aleph-null (el tamaño del conjunto de los números enteros), el aleph-one (el siguiente infinito más grande), y el continuo (el tamaño de los números reales). Estos tres números también se escriben como ℵ0, ℵ1 y c, respectivamente. Por definición ℵ0 es menor que ℵ1, y por el teorema de Cantor ℵ1 es menor o igual que c. Junto con un principio conocido como el axioma de elección, el método de demostración del teorema de Cantor puede utilizarse para asegurar una secuencia interminable de cardinales transfinitos que continúan más allá de ℵ1 hasta números como ℵ2 y ℵℵ0.

El problema del continuo es la cuestión de cuál de los alephs es igual a la cardinalidad del continuo. Cantor conjeturó que c = ℵ1; esto se conoce como la hipótesis del continuo de Cantor (CH). La CH también puede considerarse como la afirmación de que cualquier conjunto de puntos de la línea debe ser contable (de tamaño menor o igual a ℵ0) o debe tener un tamaño tan grande como todo el espacio (ser de tamaño c).

A principios del siglo XX se desarrolló una teoría exhaustiva de los conjuntos infinitos. Esta teoría se conoce como ZFC, que significa teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. Se sabe que la CH es indecidible sobre la base de los axiomas de ZFC. En 1940 el lógico de origen austriaco Kurt Gödel pudo demostrar que la ZFC no puede refutar la CH, y en 1963 el matemático estadounidense Paul Cohen demostró que la ZFC no puede demostrar la CH. Los teóricos de conjuntos siguen explorando formas de ampliar los axiomas de ZFC de manera razonable para resolver la CH. Trabajos recientes sugieren que la CH puede ser falsa y que el verdadero tamaño de c puede ser el infinito mayor ℵ2.