¿Cuál es el número más grande del mundo?

Si alguna vez has preguntado cuál es el número más grande durante una clase de matemáticas es muy probable que algún lumbreras haya dado una respuesta del tipo: «¡Es fácil! Es el infinito, por supuesto!»

El único problema con el infinito es que no es un número como tal, como demuestra la siguiente conversación entre dos chispas brillantes.

Chispa brillante uno: «El infinito es el número más grande del mundo, ¡es fácil!»

Chispa brillante dos: «Pues yo tengo un número más grande para ti: ¡el infinito más uno!»

Chispa brillante uno de nuevo: «Tengo un número que supera al tuyo: ¡el infinito más uno, multiplicado por un millón!»

La conversación continúa así durante lo que parece un tiempo infinito hasta que ninguna de las dos chispas brillantes ha llegado al número más grande del mundo.

En poco tiempo las dos chispas brillantes se han dado cuenta de que el infinito no es realmente un número, sino más bien un concepto. Lo que nadie les ha dicho todavía a las dos chispas brillantes es la sorprendente idea de que hay diferentes tamaños de infinito. Entonces, ¿cómo calculamos el número más grande?

El infinito de los números de contar

La forma más sencilla de crear un conjunto de números cuyo tamaño sea infinito es contando hacia arriba en números enteros. Este conjunto de números se llama números naturales y, evidentemente, tiene un tamaño infinito, ya que podemos seguir contando eternamente. El símbolo se utiliza para etiquetar este conjunto y significa ‘números naturales’.

Veamos ahora una lista diferente de números y llamamos a este conjunto (nuestra propia etiqueta):

El conjunto también es infinito en tamaño, pero parece contener un número menos que . ¿Son del mismo tamaño?

Podemos demostrar que y son de hecho del mismo tamaño mostrando que hay una correspondencia uno a uno entre los elementos de y los elementos de .

…

Hasta ahora habríamos dicho que el tamaño de era simplemente el infinito, que se escribe como un número ocho en su lado:.

Sin embargo, estamos a punto de descubrir que hay diferentes tamaños de infinito, por lo que ahora etiquetamos el tamaño de como que se pronuncia como ‘aleph cero’. es el tamaño más pequeño del infinito, y nuestro conjunto también tiene el tamaño .

Otros conjuntos que tienen el tamaño

Hay muchos otros conjuntos de números que tienen el tamaño infinito de . Entre ellos está el conjunto de los números enteros positivos pares, y también lo que se conoce como el conjunto de los números racionales. Los números racionales son todos los números que se pueden escribir como fracciones. Si un conjunto de números tiene el tamaño se dice que es contable.

Podemos escribir todas las fracciones posibles en una tabla como la siguiente. Las fracciones equivalentes pueden aparecer más de una vez, por ejemplo , pero podemos eliminar fácilmente cualquier repetición de la tabla. A continuación, podemos dibujar una diagonal que nos permita colocar nuestras fracciones en una lista. Ahora nos queda una lista ordenada de fracciones …

Si tenemos una lista de fracciones se pueden contar y por tanto se dice que los números racionales son contables.

¿Cómo encontramos un tamaño del infinito que sea mayor que?

No todos los números se pueden escribir como fracción. Los números que no se pueden escribir como fracciones se llaman números irracionales. Ejemplos bien conocidos son y surds como y .

Las expansiones decimales de los números irracionales como (3,1415926535…) son eternas, y estos números nunca pueden escribirse como fracciones, aunque a la gente le gusta usar como una aproximación para .

Veamos ahora el conjunto de todos los números que están entre 0 y 1. Este conjunto incluirá números racionales como así como números irracionales como Este conjunto de números es claramente infinito en tamaño, ya que siempre podemos pensar en más y más números que están contenidos en el intervalo (0,1).

En 1873 un matemático alemán llamado Georg Cantor inventó una prueba muy ingeniosa de que el conjunto de todos los números reales en el intervalo (0,1) tiene un tamaño que es un infinito mayor que el tamaño del conjunto de los números naturales .

Resumen del famoso argumento diagonal de Cantor.

Supongamos que el tamaño del conjunto de todos los números reales en el intervalo (0,1) es del mismo tamaño que . Podríamos entonces hacer una lista intentando contar hacia arriba a través de los números reales entre 0 y 1. Podría ser algo así si no estuviéramos siendo muy lógicos:

El siguiente paso realmente inteligente de Cantor fue construir un nuevo número que no está en la lista. El argumento de Cantor funcionará tanto si utilizamos una lista como la anterior, como si intentamos minuciosamente hacer una lista lógica que intente capturar todos los números entre 0 y 1:

Modo inteligente de Cantor para elegir un número que no esté en la lista.

Este nuevo número claramente no está en la lista y Cantor había encontrado una contradicción – Cantor demostró que nunca se puede hacer una correspondencia uno a uno entre los números naturales y los números reales en el intervalo (0,1). Cantor había demostrado que el tamaño de los números reales es mayor que el de los números naturales. Los números reales son incontables. Hay diferentes tamaños del infinito!

En conclusión, la respuesta a la pregunta de cuál es el número más grande del mundo no es sencilla. En pocas palabras, no hay un número más grande, se puede seguir contando para siempre. Pero también se pueden encontrar dos grupos de números, ambos de tamaño infinito, pero también de tamaño diferente entre sí. Es realmente increíble pensar en ello

Número más grande: Lecturas adicionales

Este artículo sólo ha empezado a arañar la superficie de este fascinante y alucinante tema. Si quiere seguir leyendo, pruebe con «La hipótesis del continuo» en la revista Plus. Si eliges estudiar matemáticas a nivel de grado, tendrás la oportunidad de estudiar lo que se conoce como teoría de conjuntos, que cubre con más detalle los temas tratados en este artículo.

Artículo de Hazel Lewis